Kromatikus skála a nyugati zenében az oktávot 12 részre osztja. Az oktáv 12 részre való felosztásának kissé eltérő módjai vannak, és a különböző megközelítéseknek hosszú és finom története van. Ez a bejegyzés a különbségek gyökerét fogja megvizsgálni.
Az oktáv egy 2:1 arányú arány. Tegyük fel, hogy egy bizonyos feszességű és hosszúságú húr egy A-t produkál, amikor megpengetjük. Ha a húrt kétszer olyan feszessé tesszük, vagy megtartjuk ugyanazt a feszességet, és a húrt kettévágjuk, akkor a húr egy oktávval magasabb A-t fog szólni. Az új hang másodpercenként kétszer annyiszor fogja rezegtetni a levegőt.
A kvint ugyanúgy 3:2 arányú, mint ahogy az oktáv 2:1. Ha tehát az A 440-gyel kezdünk (ez a hangmagasság 440 Hz-en rezeg, 440 rezgés másodpercenként), akkor az A fölött egy ötöddel lévő E 660 Hz-en rezeg.
A kromatikus skála minden hangjának előállításához felfelé haladhatunk kvintekkel és lefelé oktávokkal. Például, ha az E 660-tól még egy kvintet felfelé megyünk, akkor egy H 990-et kapunk. Aztán ha egy oktávval lejjebb megyünk a B 495-ig, akkor az A 440 fölött egy lépéssel a B-t kapjuk. Ez azt mondja, hogy egy “másodperc”, például az A-tól B-ig terjedő intervallum 9 és 8 közötti arány. Ezután előállíthatnánk az Fisz-t, ha B-től egy kvintet feljebb mennénk, stb. A hangoknak ezt a haladását kvintkörnek nevezzük.
A következőkben egy másik megközelítést alkalmazunk. Minden alkalommal, amikor a kromatikus skálán egy féllépéssel feljebb megyünk, a hangmagasságot egy r-rel növeljük. Ha ezt 12-szer tesszük meg, akkor egy oktávval feljebb megyünk, tehát r12-nek 2-nek kell lennie. Ez azt mondja, hogy r a 2 12. gyöke. Ha egy A 440-gyel kezdünk, akkor az n féllépéssel magasabb hangmagasságnak 2n/12-szer 440-nek kell lennie.
Most már kétféleképpen tudunk felfelé menni egy kvintet. Az első megközelítés szerint egy kvint a 3 és 2 hányadosa. Mivel egy kvint hét féllépés, a második megközelítés szerint egy kvint a 27/12 és 1 hányadosa. Ha ezek megegyeznek, akkor bebizonyítottuk, hogy a 27/12 egyenlő 3/2-vel. Sajnos ez nem egészen igaz, bár jó közelítés, mert 27/12 = 1,498. A 3/2 arányt “tökéletes” ötödiknek nevezzük, hogy megkülönböztessük az 1,498-as aránytól. A különbség a tökéletes kvintek és a közönséges kvintek között kicsi, de fokozódik, ha minden hangmagasságot tökéletes kvintekkel építünk fel.
A minden hangot tökéletes kvinteken és oktávokon keresztül készítő megközelítést püthagoraszi hangolásnak nevezzük. A 2 12. gyökét használó megközelítést egyenlő temperálásnak nevezik. Mivel 1,498 nem azonos az 1,5-tel, a két megközelítés különböző hangolási rendszereket eredményez. Vannak különböző kompromisszumok, amelyek megpróbálják megőrizni mindkét rendszer aspektusait. A kompromisszumok mindegyike más-más hangolási rendszert eredményez. És valójában a püthagoraszi hangolási rendszer egy kicsit bonyolultabb a fent leírtaknál, mert ez is tartalmaz némi kompromisszumot.
Kapcsolódó bejegyzés: Az ötödök köre és a számelmélet