A lineáris és rotációs mennyiségek kapcsolata
A mozgás leírása néha egyszerűbb lehet olyan szögletes mennyiségekkel, mint a szögsebesség, a forgási tehetetlenség, a nyomaték stb.
Tanulási célok
Egyenletes körmozgás levezetése lineáris egyenletekből
Főbb tanulságok
Főbb pontok
- Mivel a tömeget használjuk, lineáris lendületet, transzlációs mozgási energiát és Newton 2. törvényét a lineáris mozgás leírására, egy általános forgó mozgást is leírhatunk a megfelelő skalár/vektor/tenzor mennyiségekkel.
- A forgási és a lineáris sebesség között a következő összefüggés áll fenn: \bf{\text{v} = \omega \times \text{r}}.
- Mivel a \text{F} = \text{ma} mozgásegyenletet használjuk a lineáris mozgás leírására, használhatjuk a megfelelőjét \bf{\tau} = \frac{\text{d}\bf{\text{L}}{\text{dt}} = \bf{\text{r}}. \times \bf{\text{F}}, a szögletes mozgás leírására. A leírások egyenértékűek, és a választás pusztán a használat kényelme miatt történhet.
Főbb fogalmak
- egyenletes körmozgás: Egy körpálya körüli mozgás állandó sebességgel.
- nyomaték: Egy erő forgási vagy csavaró hatása; (SI egység newton-méter vagy Nm; angol egység foot-pound vagy ft-lb)
- forgási tehetetlenség: Egy forgó tárgynak az a hajlama, hogy forgásban maradjon, hacsak nem hat rá nyomaték.
A körmozgás meghatározása
A körmozgás leírása jobban leírható szögmennyiséggel, mint lineáris ellenpárjával. Az okok könnyen érthetőek. Vegyük például az egyenletes körmozgás esetét. Itt a részecske sebessége változik – bár a mozgás “egyenletes”. A két fogalom nem illik össze. Az “egyenletes” kifejezés általános jelentése “állandóra” utal, de a sebesség valójában állandóan változik.
Körforgó test: A testet alkotó minden egyes részecske egyenletes körmozgást végez a rögzített tengely körül. A mozgás leírására a szögletes mennyiségek a jobb választás.
Ha az egyenletes körmozgást a szögsebességgel írjuk le, nincs ellentmondás. A sebesség (azaz a szögsebesség) valóban állandó. Ez az első előnye annak, hogy az egyenletes körmozgást a szögsebességgel írjuk le.
A második előny, hogy a szögsebesség a részecske forgásának fizikai értelmét közvetíti, szemben a lineáris sebességgel, amely transzlációs mozgást jelöl. Alternatívaként a szögletes leírás a kétféle mozgás (transzlációs és rotációs) közötti különbséget hangsúlyozza.
A lineáris és szögsebesség közötti kapcsolat
Az egyszerűség kedvéért tekintsünk egy egyenletes körmozgást. Az origónál ” szöget bezáró ív hosszára és “r” a részecske helyzetét tartalmazó kör sugara, akkor \text{s}=\text{r}\theta .
Az időre vonatkoztatva differenciálva, akkor
\frac{\text{ds}}{\text{dt}} = \frac{\text{dr}}{\text{dt}} \theta + \text{r}\frac{\text{d}\theta}{\text{dt}}.
Mivel \frac{\text{dr}{\text{dt}} = 0 egyenletes körmozgás esetén \text{v} = \omega \text{r}. Hasonlóképpen \text{a} = \alpha \text{r}, ahol \text{a} a lineáris gyorsulást jelenti, míg \alpha a szöggyorsulásra utal (Általánosabb esetben a szög- és lineáris mennyiségek közötti kapcsolat a következő: \bf{\text{v} = \omega \times \text{r}}, ~~ \bf{\text{a} = \alpha \times \text{r} + \omega \times \text{v}}. )
Pörgetési kinematikai egyenletek
A lineáris és szögsebesség/gyorsulás összefüggéséből a következő négy forgási kinematikai egyenletet vezethetjük le állandó \text{a} és \alpha esetén:
\omega =\omega 0+\alpha \text{t}: \text{v}=\text{v}0+\text{at}
\theta =\omega 0\text{t}+(1/2)\alpha \text{t}2: \text{x}=\text{v}0\text{t}+(1/2)\text{at}2
\omega 2=\omega 02+2: \text{v}2=\text{v}02+2\text{ax}
Tömeg, impulzus, energia és Newton második törvénye
Amint a lineáris mozgás leírására a tömeget, a lineáris impulzust, a transzlációs mozgási energiát és Newton 2. törvényét használtuk, egy általános forgó mozgást is leírhatunk a megfelelő skalár/vektor/tenzor mennyiségekkel:
- Tömeg/forgási tehetetlenség:
- Lineráris/szögimpulzus:
- Erő/nyomaték:
- Kinetikus energia:
Amint például egy lineáris mozgás leírására használjuk a \text{F} = \text{ma} mozgásegyenletet, úgy használhatjuk annak megfelelőjét \bf{\tau} = \frac{\text{d}\bf{\text{L}}}{\text{dt}}} = \bf{\text{r}}. \times \bf{\text{F}} egy szögletes mozgás leírására. A leírások egyenértékűek, és a választás pusztán a könnyebb használat érdekében történhet.