A jelenlegi témánk bevezetőjeként erősen ajánlom egy másik cikk elolvasását, amit az arbitrázs fogalmáról írtam.
Ezzel együtt hivatalosan is bevezethetem az arbitrázs definícióját a következőképpen:
Az arbitrázs (portfólió) olyan, ahol a belépésért nem fizetsz semmit, és egy bizonyos kockázat nélküli pozitív nyereséget érsz el.
A piacon van néhány olyan eset, amikor arbitrázs lehetőség adódik. Az egyik, amelyet vizsgálni fogunk, egy részvények közötti eset lesz. Ez lényegében azt jelenti, hogy egy statisztikai tulajdonságot fogunk kihasználni két különböző, ugyanazon a tőzsdén lévő részvény között.
Most,
1.1 Mi a páros kereskedés?
A páros kereskedés egy olyan stratégia, amely két összetevőből áll: A) Azonosítunk egy olyan részvénypárt, amely hasonlóan mozog és átlag-visszaforgató tulajdonságokkal rendelkezik & B) Eladjuk a magas árfolyamú részvényt és megvesszük az alacsony árfolyamú részvényt.
A trükk természetesen az, hogy képesek vagyunk azonosítani a párt (A), majd megfelelő, előre meghatározott belépési és kilépési stratégiát találunk (B).
Piaci semleges stratégiaként jellemezhető, amely a statisztikai arbitrázs módszerek családjába tartozik. Piaci semlegesség alatt azt értjük, hogy ezt a stratégiát nem befolyásolják az ártrendek (felfelé vagy lefelé) – ez a pár egyes alkotóelemeinek fedezetéből adódik.
A páros kereskedésnek három fő megközelítése van:
Távolsági megközelítés
Stochasztikus megközelítés
Kointegrációs megközelítés
Az, amire most koncentrálni fogunk, a kointegrációs megközelítés.
1.2 Milyen gyakran fordul elő ez az eset/arbitrázs lehetőség?
Nem túl gyakran. Ahhoz, hogy jobban megértsük, miért nem gyakori, meg kellene értenünk, miért fordulnak elő egyáltalán. Először is, az arbitrázslehetőségek a piac hatékonyságának hiánya miatt fordulnak elő – ami nem egyensúlyi jelenség.
A hatékonyság hiányának oka lehet egy sor hiba, például az információ továbbításának késedelme. A modern techno-indusztriális (MTI) civilizációs forma hajnalán a késedelmek nagyon minimálisak, ezért a ritkán előforduló alkalmi esetek csak átmeneti jellegűek, minimálisan és rövid ideig léteznek.
2- A páros kereskedés áttekintése
Ebben a részben a következő ismereteket építjük fel: idősorok, stacionaritás, kointegráció, regresszió és reziduumok, valamint egységgyök tesztek.
Aztán ezeket az ismereteket alkalmazzuk a következőkben: portfólióépítés, konzervatív kereskedési stratégia kialakítása, majd backtesztelés.
2.1 Idősorok
Az idősor az adatpontok halmaza, amelyek időrendben, az előfordulásuk időpontja szerint vannak elrendezve. Az idő mérhető másodpercekben, percekben, órákban, napokban, hónapokban vagy években.
Tegyük fel, hogy van egy tetszőleges Y idősor:
Y={Yt:t∈T} ; ahol T a természetes számok halmaza
lényegében,
t: t₁, t₂, …, tn
Yt: Yt₁, Yt₂, …, Ytn
Az idősorra példa lehet egy részvény árfolyama az idő múlásával napokban vagy a népességé az idő múlásával években.
2.1.1. ábra
Az idősorok néhány fontos jellemzője
Trend: felfelé vagy lefelé mutat?
Szezonalitás: vannak-e rendszeresen ismétlődő minták?
Stacionaritás: a statisztikai tulajdonságok nem változnak az idő múlásával?
Az idősorok jellemzése lehetővé teszi számunkra, hogy olyan modelleket alkossunk vagy használjunk, amelyek fontos információk felismeréséhez vezethetnek. A páros kereskedés esetében az egyik jellemzőt, a stacionaritást fogjuk megvizsgálni.
2.2. Stacionaritás
Egyszerűen fogalmazva, stacionaritásról akkor beszélünk, ha egy idősor átlaga és varianciája állandó, a kovariancia pedig független az időtől. Vizuálisan egy stacionárius idősor laposnak tűnik, kóros trend és szezonalitás nélkül. Az átlaga is megfordul.
2.2.1. ábra
Ha egy idősor stacionárius, akkor nulla rendű integrációval rendelkezik I(0).
A vizualitás alapján nem következtethetünk arra, hogy egy idősor stacionárius. Statisztikai módszerek kereteit kellene felhasználnunk ahhoz, hogy kikövetkeztessük, valóban stacionárius-e.
Három feltételnek kell teljesülnie ahhoz, hogy egy tetszőleges Yt idősor stacionáriusnak minősüljön:
E konstans minden t-re (ez átlagfordulást feltételez)
Var konstans minden t-re
Covar konstans minden t-re
Ha egy részvénypárról nagy bizonyossággal megállapítható, hogy stacionárius, akkor azt a párt sikeresen használhatjuk a páros kereskedési stratégiánkban.
Mi az autoregresszív (AR) modell?
Ez egyfajta véletlen folyamat ábrázolása. A mi esetünkben ez egy véletlen séta lesz, amely a diszkretizáló Brown-mozgás (amelyet a részvényárfolyamok modellezésére használnak) közelítése lesz. Megadja, hogy a kimeneti változó lineárisan függ a saját korábbi értékeitől és egy véletlen változótól – tehát egy sztochasztikus differenciálegyenlet formájában van.
Ez így ábrázolható,
Yt=ρYt-₁+Ɛt ; ahol Ɛt egy független, normális eloszlású véletlen változó.
2. ábra.2.2
Mindenképpen meg kell jegyeznünk, hogy mivel a fenti egyenlet egyrendű AR-modell, ezért egyrendű késleltetést (L) fogunk figyelembe venni.
A stacionárius idősorokra és azok tulajdonságaira két fontos példa van:
Nem függ az időtől
Fehér zaj
2.3 Kointegráció
Emlékezzünk vissza,
Ha egy idősor stacionárius, akkor nulla rendű integrációval rendelkezik I(0).
Hát akkor erre építünk.
Tegyük fel, hogy van egy részvénypárunk, amelyet szeretnénk párként vagy nem párként azonosítani (a páros kereskedés céljából).
Legyen az Xt idősor az A részvény és az Yt a B részvény. Mindkét idősor AR-modell;
Xt=ρXt-₁+Ɛt és Yt=ρYt-₁+Ɛt ; tegyük fel, hogy Ɛt mindkét sorozat esetében azonos.
Ha tehát ezeket a sorozatokat meghatározott arányban kombinálnánk, akkor egy új μt sorozatot kapnánk, amely csak az AR-modellek nem véletlenszerű összetevőiből áll.
Tegyük fel most egy általánosabb esetben, hogy ez a két idősor mindkettő egyes rendű integrált (I(1)), tehát eleve nem stacionárius. Feltételezzük azt is, hogy ezek is AR-modellek (1-es rendűek), ahol a véletlen komponens kioltódik (a közös sztochasztikus trendek (Ɛt) megosztása miatt) – ekkor fennáll a lehetőség, hogy a sorozatok lineáris kombinációja stacionárius I(0) sorozatot eredményezne. Ez a kointegráció.
2.3.1. ábra
Mi a különbség a kointegráció és a korreláció között?
Míg mind a kointegráció, mind a korreláció képes mérni az együtt mozgó eszközárakat, és így kapcsolatot teremteni, a korreláció hosszú távon megbomlik, de a rövid távú kapcsolatok azonosításában némileg robusztus. Eközben a kointegráció sokkal jobban megfelel a közép- és hosszú távú kereskedési stratégiának. A korrelációkat is többnyire a hozamok együttmozgásának meghatározására használják, míg a kointegráció az árak együttmozgását határozza meg.
Emlékezzünk vissza erre?
… egy statisztikai tulajdonságot fogunk kihasználni két különböző, ugyanazon a tőzsdén lévő részvény között.
Ez a statisztikai tulajdonság, amire utaltunk, a kointegrációs megközelítéssel a stacionaritás.
Kointegrációs megközelítés a párok megtalálásához
A lényege, hogy van két idősorunk, amelyek nem stacionáriusak, de differenciálással (I(1)) stacionáriussá válnak. Ezeket az idősorokat integráltnak (egyes rendűnek) nevezzük. Vannak olyan integrált (egyes rendű) idősorok, amelyeknek van olyan lineáris kombinációja, amely stacionáriussá válik (I(0)) (ahogy a 2.3.1. ábrán látható).
Ezt a folyamatot három fő lépésre oszthatjuk:
regresszióelemzéssel regresszáljuk a két részvény árfolyamának természetes logaritmusát egymáshoz – a kointegrációs együttható megtalálásához
kiszámítjuk a regresszió reziduumát
statisztikailag teszteljük, hogy a reziduumok stacionáriusak-e a Dickey-Fuller-teszt (DF)
A lenti ábrákon a Citigroup Inc. történelmi árfolyamát vettük. részvényeinek 20/07/18-tól 20/07/19-ig (napi gyakorisággal). Matlab segítségével a következő grafikonokat generáltuk:
