7.6: Térfogat, orientáció és a Levi-Civita-tenzor

Orientáció

Az \(\PageIndex{5}\) ábrán látható, hogy a terület linearitása megköveteli, hogy egyes területekhez negatív értékeket rendeljünk. Ha összehasonlítjuk a \(+1\) és \(-1\) területeket, láthatjuk, hogy az egyetlen különbség az orientáció, vagyis a kéztartás. Abban az esetben, amelyhez önkényesen \(+1\) területet rendeltünk, a b vektor az a vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban van, de ha a flipped, akkor a relatív orientáció az óramutató járásával megegyező lesz.

Ha a szokásos elsőéves fizikai háttérrel rendelkeztél, akkor láttad, hogy ezt a kérdést egy sajátos módon kezelik, mégpedig úgy, hogy feltételezzük, hogy létezik egy harmadik dimenzió, és a területet az \(a×b\) vektor keresztszorzataként határozzuk meg, amely merőleges az \(a\) és \(b\) által lakott síkra. Ezzel a megközelítéssel az a baj, hogy csak három dimenzióban működik. Négy dimenzióban tegyük fel, hogy a az \(x\)-tengely mentén fekszik, \(b\) pedig az \(t\)-tengely mentén. Akkor ha \(a×b\)-t definiálnánk, akkor annak mindkét irányra merőleges irányban kellene lennie, de több ilyen irány is van. Választhatnánk bármit az \(y-z\) síkban.

Hogy m dimenzióban, ahol \(m\) nem feltétlenül egyenlő \(3\), kezdjünk bele ebbe a kérdésbe, megvizsgálhatjuk az \(m\)-vektorok által közrefogott \(m\)-dimenziós paralelepipedium \(m\)-térfogatát. Tegyük fel például, hogy az \(4\)-dimenziós téridőben az \(m\)-vektorok a Minkowski-koordináták négy tengelye mentén fekvő egységvektorok, \(\hat{t},\hat{x},\hat{y}\; \text{és}\; \hat{z}\). A vektorok keresztszorzatával kapcsolatos tapasztalatok alapján, amely antikommutatív, arra számítunk, hogy az eredmény előjele a vektorok sorrendjétől függ, ezért vegyük őket ebben a sorrendben. Nyilvánvalóan csak két ésszerű értéket tudunk elképzelni erre a mennyiségre: \(+1\) vagy \(-1\). A választás tetszőleges, így mi is tetszőlegesen választunk. Mondjuk, hogy ez a sorrend \(+1\). Ez egyenlő a téridő orientációjának megválasztásával.

Egy rejtett és nem triviális feltételezés az volt, hogy ha egyszer ezt a választást a téridő egy pontján meghoztuk, akkor az következetes módon átvihető a téridő más régióira is. Ennek nem feltétlenül kell így lennie, amint azt az \(\PageIndex{6}\) ábra sugallja.

A témánk azonban jelenleg a speciális relativitáselmélet, és mint azt a 2.4. szakaszban briefly tárgyaltuk, a speciális relativitáselméletben általában feltételezik, hogy a téridő topológiailag triviális, így ez a kérdés csak az általános relativitáselméletben merül fel, és csak olyan téridőben, amely valószínűleg nem reális modellje a mi univerzumunknak.

Mivel a \(4\)-térfogat forgások és Lorentz-transzformációk alatt invariáns, az általunk választott orientáció elégséges ahhoz, hogy rögzítsük a \(4\)-térfogat olyan definícióját, amely Lorentz-invariancia. Ha az \(a\), \(b\), \(c\) és \(d\) vektorok egy \(4\)-paralelepipediumot ölelnek fel, akkor a térfogat linearitását úgy fejezzük ki, hogy van egy olyan \(\epsilon _{ijkl}\) együtthatóhalmaz, hogy

\

Az ilyen módon történő jelölés azt sugallja, hogy absztrakt indexjelölésként értelmezzük, ebben az esetben az \(V\) indexek hiánya azt jelenti, hogy ez nem csak egy Lorentz-invariancia, hanem egy skalár is.

A példa \(\PageIndex{2}\) eredménye azt mondja, hogy a konvenciónk szerint a térfogat skalár, a komponenseknek meg kell változniuk, ha koordinátákat változtatunk. Érvelhetnénk azzal, hogy logikusabb lenne a transzformációt ebben a példában egységváltásként felfogni, amely esetben \(V\) értéke más lenne az új egységekben; ez egy lehetséges alternatív konvenció, de ennek az lenne a hátránya, hogy lehetetlenné tenné egy objektum transzformációs tulajdonságainak leolvasását az indexeinek számából és pozíciójából. A mi konvenciónk szerint így le tudjuk olvasni a transzformációs tulajdonságokat. Bár a 7.4. szakasz csak a \(0\) és \(1\) rangú tenzorok esetében mutatta be ezeket a tulajdonságokat, és a magasabb rangú tenzorok általános leírását a 9.2. szakaszra halasztottuk, a \(\(\epsilon\) transzformációs tulajdonságai – amint azt a négy alindexe is sugallja – a \(4\) rangú tenzorok tulajdonságai. A különböző szerzők különböző konvenciókat használnak az \(\epsilon\) definícióját illetően, amelyet eredetileg Levi-Civita matematikus írt le.

Mivel a mi konvenciónk szerint \(\epsilon\) egy tenzor, ezért Levi-Civita-tenzornak nevezzük. Más konvenciókban, ahol \(\epsilon\) nem tenzor, hivatkozhatunk rá Levi-Civita szimbólumként. Mivel a jelölés nem szabványosított, a fontos egyenletek mellé, amelyekben \(\epsilon\) szerepel, időnként egy emlékeztetőt teszek, hogy ez a tenzor \(\epsilon\).

A Levi-Civita-tenzornak sok-sok indexe van. Ijesztő! Képzeljük el ennek a szörnyetegnek a bonyolultságát. (Sob.) Az első indexre négy lehetőségünk van, a másodikra négy, és így tovább, így a komponensek teljes száma \(256\). Várj, ne nyúlj a zsebkendőért. A következő példa megmutatja, hogy ez a bonyolultság illuzórikus.

A \(\PageIndex{3}\) példa azt mutatja, hogy a díszes \(\epsilon _{ijkl}\) szimbólum, amely úgy néz ki, mint egy titkos maja hieroglifa, amely \(256\) különböző számokat idéz, valójában csak egy szám információját kódolja; a tenzor minden összetevője vagy ezzel a számmal egyenlő, vagy mínusz ezzel a számmal, vagy nulla. Tegyük fel, hogy valamilyen koordinátarendszerben dolgozunk, ami nem biztos, hogy Minkowski-koordináta, és meg akarjuk találni ezt a számot. Bonyolult módon úgy találhatnánk meg, ha a rang-\(4\) tenzorra vonatkozó tenzortranszformációs törvényt használnánk (9.2. szakasz). Sokkal egyszerűbb megoldás, ha a metrika determinánsát használjuk, amelyet a 6.2.1. példában tárgyaltunk. Az ijkl koordináták olyan sorrendbe rendezett listájára, amelyet pozitív orientációként definiálunk, az eredmény egyszerűen \(\epsilon _{ijkl} = \sqrt{\left | det\; g \right |}\). Az abszolút érték jelére azért van szükség, mert a relativisztikus metrika negatív determinánssal rendelkezik.

van.