Sammenhæng mellem lineære og roterende størrelser
Beskrivelsen af bevægelse kan nogle gange være lettere med vinkelmængder som f.eks. vinkelhastighed, rotationstræghed, drejningsmoment osv.
Læringsmål
Derivér ensartet cirkulær bevægelse ud fra lineære ligninger
Nøgleudbytte
Nøglepunkter
- Som vi bruger masse, lineær impuls, translationel kinetisk energi og Newtons 2. lov til at beskrive lineær bevægelse, kan vi beskrive en generel rotationsbevægelse ved hjælp af tilsvarende skalar/vektor/tensor mængder.
- Angulær hastighed og lineær hastighed har følgende sammenhæng: \bf{\text{v} = \omega \times \text{r}}}.
- Som vi bruger bevægelsesligningen \text{F}} = \text{ma} til at beskrive en lineær bevægelse, kan vi bruge dens modstykke \bf{\tau} = \frac{\text{d}\bf{\text{L}}}{\text{dt}}} = \bf{\text{r}} \ gange \bf{\text{F}}, for at beskrive vinkelbevægelse. Beskrivelserne er ækvivalente, og valget kan udelukkende foretages af hensyn til brugervenligheden.
Nøglebegreber
- ensartet cirkelbevægelse: Bevægelse rundt på en cirkulær bane med konstant hastighed.
- drejningsmoment: En roterende eller vridende virkning af en kraft; (SI-enhed newton-meter eller Nm; imperial enhed foot-pound eller ft-lb)
- rotationstræghed: Tendensen hos en roterende genstand til at forblive roterende, medmindre den påføres et drejningsmoment.
Definition af cirkelbevægelse
Beskrivelsen af cirkelbevægelse beskrives bedre ved hjælp af en vinkelmængde end dens lineære modpart. Årsagerne er lette at forstå. For eksempel kan man overveje tilfældet med en ensartet cirkelbevægelse. Her ændrer partikelens hastighed sig – selv om bevægelsen er “ensartet”. De to begreber passer ikke sammen. Den generelle konnotation af udtrykket “ensartet” antyder “konstant”, men hastigheden ændrer sig faktisk hele tiden.
Et roterende legeme: Hver partikel, der udgør legemet, udfører en ensartet cirkelbevægelse omkring den faste akse. Til beskrivelse af bevægelsen er vinkelmængder det bedre valg.
Når vi beskriver den ensartede cirkelbevægelse ved hjælp af vinkelhastighed, er der ingen modsigelse. Hastigheden (dvs. vinkelhastigheden) er nemlig konstant. Dette er den første fordel ved at beskrive ensartet cirkelbevægelse i form af vinkelhastighed.
Den anden fordel er, at vinkelhastigheden giver den fysiske betydning af partiklens rotation i modsætning til den lineære hastighed, der angiver en translationsbevægelse. Alternativt understreger vinkelbeskrivelsen forskellen mellem to typer af bevægelse (translations- og rotationsbevægelse).
Sammenhæng mellem lineær og vinkelhastighed
Lad os for enkelhedens skyld betragte en ensartet cirkelbevægelse. For længden af den bue, der underlægger vinkel ” ved oprindelsen, og “r” er radius af den cirkel, der indeholder partiklens position, har vi \text{s}=\text{r}\theta .
Differentierer vi i forhold til tiden, har vi
\frac{\text{ds}}{\text{dt}}} = \frac{\text{dr}}{\text{dt}} \theta + \text{r}\frac{\text{d}\theta}{\text{dt}}.
Da \frac{\text{dr}}{\text{dt}} = 0 for en ensartet cirkulær bevægelse, får vi \text{v} = \omega \text{r}. Tilsvarende får vi også \text{a} = \alpha \text{r}} hvor \text{a}} står for lineær acceleration, mens \alpha henviser til vinkelacceleration (I et mere generelt tilfælde er forholdet mellem vinkel- og lineære størrelser givet som \bf{\text{v} = \omega \times \text{r}}, ~~ \bf{\text{a}} = \alpha \times \text{r} + \omega \times \text{v}}}. )
Rotationskinematiske ligninger
Med forholdet mellem lineær og vinkelhastighed/acceleration kan vi udlede følgende fire rotationskinematiske ligninger for konstant \text{a}} og \alpha:
\omega =\omega 0+\alpha \text{t}: \text{v}=\text{v}0+\text{at}
\theta =\omega 0\text{t}+(1/2)\alpha \text{t}2: \text{x}=\text{v}0\text{t}+(1/2)\text{at}2
\omega 2=\omega 02+2: \text{v}2=\text{v}02+2\text{ax}
Masse, impuls, energi og Newtons anden lov
Som vi bruger masse, lineær impuls, translationel kinetisk energi og Newtons anden lov til at beskrive lineær bevægelse, kan vi beskrive en generel rotationsbevægelse ved hjælp af tilsvarende skalar/vektor/tenor mængder:
- Masse/rotationstræghed:
- Linært/angulært moment:
- Kraft/drejningsmoment:
- Kinetisk energi:
For eksempel, ligesom vi bruger bevægelsesligningen \text{F} = \text{ma} til at beskrive en lineær bevægelse, kan vi bruge dens modstykke \bf{\tau} = \frac{\text{d}\bf{\text{L}}}{\text{dt}} = \bf{\text{r}} \ gange \bf{\text{F}} for at beskrive en vinkelbevægelse. Beskrivelserne er ækvivalente, og valget kan foretages udelukkende af hensyn til brugervenligheden.