Poursuivant sur le thème des triangles 15-75-90 (Voir : Last time and First Time) plusieurs riffs intéressants sur les 15-75-90 dans une boîte sont apparus récemment.
Exemple divisant un carré avec quatre triangles 15-75-90:
Comme c’est souvent le cas, trouver l’aire relative des triangles et du carré est simple en utilisant la trigonométrie:
Let s est la longueur des côtés du carré :
L’aire de chaque triangle = \(\frac{1}{2} s^2 cos(15)sin(15) \) et en utilisant les formules de double angle
\(sin(30)=2sin(15)cos(15)\) Donc, après substitution et sachant que sin(30) = \(\frac{1}{2}\), on obtient l’aire = \(\frac{1}{8}s^2\)
Mais pourquoi cela se produit-il ? Comme d’habitude, un triangle 30-60-90 est généralement tapi dans les parages, ce qui permet une explication euclidienne.
Ce qui est particulièrement intéressant à ce sujet, c’est qu’il laisse entendre que des dissections existent pour transformer un 1/4 ou 1/8 du plus grand carré en triangles et bien sûr, vous faites glisser le 1/4 de triangle ABO jusqu’à ce qu’il devienne 2 15-75-90′!
Mais revenons au problème initial. Il y a une autre explication facile de ce qui se passe qui utilise simplement les ratios du triangle:
1. Notez que l’aire de ce triangle est \(\frac{1}{2}(2 – \sqrt{3})\)
2. En élevant l’hypoténuse au carré, vous obtenez \(4(2 – \sqrt{3})\) qui est 8 fois l’aire du triangle.
3. Ou en d’autres termes, chaque triangle est 1/8 du carré fait sur l’hypoténuse.
Et nous avons retrouvé notre résultat original.
Questions complémentaires : Y a-t-il d’autres triangles communs qui divisent le carré en une unité ou une fraction « simple ».
Je laisse au lecteur le soin de décider quel problème basé sur cette propriété est le plus amusant (de @eylem et @sansu-seijin):
Donné le carré de longueur 6cm, quelle est la taille de la région ombragée?
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