Calcul numérique
Le développement de nouvelles méthodes de calcul numérique était une réponse à l’augmentation des demandes pratiques de calcul numérique, notamment en trigonométrie, en navigation et en astronomie. Les nouvelles idées se répandirent rapidement en Europe et aboutirent en 1630 à une révolution majeure dans la pratique numérique.
Simon Stevin de Hollande, dans son court pamphlet La Disme (1585), introduisit les fractions décimales en Europe et montra comment étendre les principes de l’arithmétique hindou-arabe au calcul avec ces nombres. Stevin soulignait l’utilité de l’arithmétique décimale « pour tous les comptes que l’on rencontre dans les affaires des hommes », et il expliquait dans un appendice comment elle pouvait être appliquée à l’arpentage, à la stéréométrie, à l’astronomie et à la mensuration. Son idée était d’étendre le principe de position en base 10 aux nombres comportant des parties fractionnaires, avec une extension correspondante de la notation pour couvrir ces cas. Dans son système, le nombre 237,578 était noté
dans lequel les chiffres à gauche du zéro sont la partie entière du nombre. A droite du zéro se trouvent les chiffres de la partie fractionnaire, chaque chiffre étant suivi d’un nombre encerclé qui indique la puissance négative à laquelle 10 est élevé. Stevin a montré comment l’arithmétique habituelle des nombres entiers pouvait être étendue aux fractions décimales, en utilisant des règles qui déterminaient le positionnement des puissances négatives de 10.
En plus de son utilité pratique, La Disme a été significative pour la façon dont elle a sapé le style dominant de la géométrie grecque classique dans les mathématiques théoriques. La proposition de Stevin nécessitait un rejet de la distinction dans la géométrie euclidienne entre la magnitude, qui est continue, et le nombre, qui est une multitude d’unités indivisibles. Pour Euclide, l’unité, ou un, était une chose particulière, non pas le nombre mais l’origine, ou le principe, du nombre. L’introduction des fractions décimales semblait impliquer que l’unité pouvait être subdivisée et qu’une grandeur continue arbitraire pouvait être représentée numériquement ; elle supposait implicitement le concept d’un nombre réel positif général.
Les tables de logarithmes ont été publiées pour la première fois en 1614 par le laird écossais John Napier dans son traité Description of the Marvelous Canon of Logarithms. Cet ouvrage fut suivi (à titre posthume) cinq ans plus tard par un autre dans lequel Napier exposait les principes utilisés dans la construction de ses tables. L’idée de base des logarithmes est que l’addition et la soustraction sont plus faciles à réaliser que la multiplication et la division, qui, comme l’a observé Napier, nécessitent une « dépense fastidieuse de temps » et sont sujettes à des « erreurs glissantes ». Par la loi des exposants, anam = an + m ; c’est-à-dire que dans la multiplication des nombres, les exposants sont liés additivement. En mettant en corrélation la suite géométrique des nombres a, a2, a3,…(a est appelé la base) et la suite arithmétique 1, 2, 3,…et en interpolant aux valeurs fractionnaires, il est possible de réduire le problème de la multiplication et de la division à celui de l’addition et de la soustraction. Pour ce faire, Napier a choisi une base très proche de 1, ne s’en écartant que de 1/107. La séquence géométrique résultante donnait donc un ensemble dense de valeurs, adapté à la construction d’une table.
Dans son ouvrage de 1619, Napier a présenté un modèle cinématique intéressant pour générer les séquences géométriques et arithmétiques utilisées dans la construction de ses tables. Supposons que deux particules se déplacent le long de lignes distinctes à partir de points initiaux donnés. Les particules commencent à se déplacer au même instant avec la même vitesse. La première particule continue à se déplacer à une vitesse décroissante, proportionnelle à chaque instant à la distance qui la sépare d’un point fixe donné sur la ligne. La seconde particule se déplace avec une vitesse constante égale à sa vitesse initiale. Pour un incrément de temps quelconque, les distances parcourues par la première particule lors des incréments successifs forment une séquence géométriquement décroissante. Les distances correspondantes parcourues par la seconde particule forment une séquence arithmétiquement croissante. Napier a pu utiliser ce modèle pour dériver des théorèmes donnant des limites précises à des valeurs approximatives dans les deux séquences.
Le modèle cinématique de Napier indique à quel point les mathématiciens étaient devenus compétents au début du XVIIe siècle pour analyser le mouvement non uniforme. Les idées cinématiques, qui apparaissaient fréquemment dans les mathématiques de l’époque, fournissaient un moyen clair et visualisable pour la génération de la magnitude géométrique. La conception d’une courbe tracée par une particule se déplaçant dans l’espace a joué plus tard un rôle important dans le développement du calcul.
Les idées de Napier ont été reprises et révisées par le mathématicien anglais Henry Briggs, premier professeur savilien de géométrie à Oxford. En 1624, Briggs publia un tableau complet des logarithmes communs, ou logarithmes à la base 10. Comme la base n’était plus proche de 1, la table ne pouvait pas être obtenue aussi simplement que celle de Napier, et Briggs a donc conçu des techniques impliquant le calcul des différences finies pour faciliter le calcul des entrées. Il a également conçu des procédures d’interpolation d’une grande efficacité de calcul pour obtenir des valeurs intermédiaires.
En Suisse, le fabricant d’instruments Joost Bürgi est arrivé à l’idée des logarithmes indépendamment de Napier, bien qu’il n’ait pas publié ses résultats avant 1620. Quatre ans plus tard, une table de logarithmes préparée par Kepler apparaît à Marburg. Bürgi et Kepler étaient tous deux des observateurs astronomiques, et Kepler a inclus des tables logarithmiques dans ses célèbres Tabulae Rudolphinae (1627 ; » Tables Rudolphines « ), des tabulations astronomiques du mouvement planétaire dérivées en utilisant l’hypothèse d’orbites elliptiques autour du Soleil.