Définitions
Axes principaux
Dans les axes principaux, qui sont tournés d’un angle θ par rapport aux centroïdes originaux x, y, le produit d’inertie devient nul. De ce fait, tout axe de symétrie de la forme, est aussi un axe principal. Les moments d’inertie autour des axes principaux, I_I, I_{II} sont appelés moments d’inertie principaux, et sont les moments maximum et minimum, pour tout angle de rotation du système de coordonnées. Si Ix, Iy et Ixy sont connus pour le système de coordonnées centroïde arbitraire x,y, alors les moments d’inertie principaux et l’angle de rotation θ des axes principaux peuvent être trouvés, par les expressions suivantes :
\begin{split}. I_{I,II} & = \frac{I_x+I_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{I_x-I_y}{2}\right)^2 + I_{xy}^2} \\tan 2\theta & = -\frac{2I_{xy}}{I_x-I_y} \end{split}
Avertissements
Dimensions
Les dimensions du moment d’inertie (deuxième moment de l’aire) sont ^4 .
Moment d’inertie de masse
En physique, le terme moment d’inertie a une signification différente. Il est lié à la répartition de la masse d’un objet (ou de plusieurs objets) autour d’un axe. Cela diffère de la définition habituellement donnée dans les disciplines de l’ingénierie (également dans cette page) comme une propriété de l’aire d’une forme, généralement une section transversale, autour de l’axe. Le terme second moment d’aire semble plus précis à cet égard.
Applications
Le moment d’inertie (second moment ou aire) est utilisé dans la théorie des poutres pour décrire la rigidité d’une poutre contre la flexion (voir théorie de la flexion des poutres). Le moment de flexion M appliqué à une section transversale est lié à son moment d’inertie par l’équation suivante :
M = E\times I \times \kappa
où E est le module de Young, une propriété du matériau, et κ la courbure de la poutre due à la charge appliquée. La courbure de la poutre κ décrit l’étendue de la flexion dans la poutre et peut être exprimée en termes de déviation de la poutre w(x) le long de l’axe longitudinal de la poutre x, comme : \kappa = \frac{d^2 w(x)}{dx^2} . Par conséquent, il peut être vu à partir de l’équation précédente, que lorsqu’un certain moment de flexion M est appliqué à une section transversale de poutre, la courbure développée est inversement proportionnelle au moment d’inertie I. En intégrant les courbures sur la longueur de la poutre, la déflexion, à un certain point le long de l’axe x, devrait également être inversement proportionnelle à I.
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