Relation entre les quantités linéaires et rotationnelles
La description du mouvement pourrait être parfois plus facile avec des quantités angulaires telles que la vitesse angulaire, l’inertie rotationnelle, le couple, etc.
Objectifs d’apprentissage
Dériver un mouvement circulaire uniforme à partir d’équations linéaires
Principaux enseignements
Points clés
- Comme nous utilisons la masse, le momentum linéaire, l’énergie cinétique de translation et la 2e loi de Newton pour décrire le mouvement linéaire, nous pouvons décrire un mouvement de rotation général en utilisant les quantités scalaires/vectorielles/tensorielles correspondantes.
- La vitesse angulaire et la vitesse linéaire ont la relation suivante : \bf{\text{v} = \omega \times \text{r}}.
- Comme nous utilisons l’équation du mouvement \text{F} = \text{ma} pour décrire un mouvement linéaire, nous pouvons utiliser sa contrepartie \bf{\tau} = \frac{\text{d}\bf{\text{L}}{\text{dt}} = \bf{\text{r}} \times \bf{\text{F}}, pour décrire le mouvement angulaire. Les descriptions sont équivalentes, et le choix peut être fait purement pour la commodité d’utilisation.
Termes clés
- mouvement circulaire uniforme : Mouvement autour d’une trajectoire circulaire avec une vitesse constante.
- Couple : Effet de rotation ou de torsion d’une force ; (unité SI newton-mètre ou Nm ; unité impériale pied-livre ou ft-lb)
- inertie de rotation : Tendance d’un objet en rotation à rester en rotation à moins qu’un couple ne lui soit appliqué.
Définition du mouvement circulaire
La description du mouvement circulaire se fait mieux en termes de quantité angulaire que sa contrepartie linéaire. Les raisons en sont faciles à comprendre. Par exemple, considérons le cas d’un mouvement circulaire uniforme. Ici, la vitesse de la particule change – bien que le mouvement soit « uniforme ». Les deux concepts ne vont pas ensemble. La connotation générale du terme « uniforme » indique « constant », mais la vitesse change en fait tout le temps.
Un corps en rotation : Chaque particule constituant le corps exécute un mouvement circulaire uniforme autour de l’axe fixe. Pour la description du mouvement, les quantités angulaires sont le meilleur choix.
Lorsque nous décrivons le mouvement circulaire uniforme en termes de vitesse angulaire, il n’y a pas de contradiction. La vitesse (c’est-à-dire la vitesse angulaire) est en effet constante. C’est le premier avantage de la description du mouvement circulaire uniforme en termes de vitesse angulaire.
Le deuxième avantage est que la vitesse angulaire transmet le sens physique de la rotation de la particule par rapport à la vitesse linéaire, qui indique un mouvement de translation. Alternativement, la description angulaire souligne la distinction entre deux types de mouvement (translationnel et rotationnel).
Relation entre vitesse linéaire et vitesse angulaire
Pour simplifier, considérons un mouvement circulaire uniforme. Pour la longueur de l’arc sous-tendant l’angle » à l’origine et « r » est le rayon du cercle contenant la position de la particule, nous avons \text{s}=\text{r}\theta .
Différenciant par rapport au temps, nous avons
\frac{\text{ds}}{\text{dt}} = \frac{\text{dr}{\text{dt}}. \theta + \text{r}\frac{\text{d}\theta}{\text{dt}}.
Parce que \frac{\text{dr}}{\text{dt}} = 0 pour un mouvement circulaire uniforme, nous obtenons \text{v} = \omega \text{r}. De même, nous obtenons \text{a} = \alpha \text{r} où \text{a} représente l’accélération linéaire, alors que \alpha se réfère à l’accélération angulaire (Dans un cas plus général, la relation entre les quantités angulaires et linéaires est donnée par \bf{\text{v} = \omega \times \text{r}}, ~~ \bf{\text{a} = \alpha \times \text{r} + \omega \times \text{v}}. )
Equations cinématiques de rotation
Avec la relation de la vitesse/accélération linéaire et angulaire, nous pouvons dériver les quatre équations cinématiques de rotation suivantes pour des constantes \text{a} et \alpha:
\omega =\omega 0+\alpha \text{t} : \text{v}=\text{v}0+\text{at}
\theta =\omega 0\text{t}+(1/2)\alpha \text{t}2 : \text{x}=\text{v}0\text{t}+(1/2)\text{at}2
\omega 2=\omega 02+2 : \text{v}2=\text{v}02+2\text{ax}
Masse, momentum, énergie et deuxième loi de Newton
Comme nous avons utilisé la masse, le momentum linéaire, l’énergie cinétique translationnelle et la deuxième loi de Newton pour décrire le mouvement linéaire, nous pouvons décrire un mouvement de rotation général en utilisant les quantités scalaires/vectorielles/tensorielles correspondantes :
- Masse/ Inertie rotationnelle:
- Momentum linénaire/angulaire:
- Force/couple:
- Énergie cinétique :
Par exemple, tout comme nous utilisons l’équation du mouvement \text{F} = \text{ma} pour décrire un mouvement linéaire, nous pouvons utiliser sa contrepartie \bf{\tau} = \frac{\text{L}}}{\text{dt}} = \bf{\text{r}}. \times \bf{\text{F}} pour décrire un mouvement angulaire. Les descriptions sont équivalentes, et le choix peut être fait uniquement pour la commodité d’utilisation.