7.6 : Volume, orientation et tenseur de Levi-Civita

Orientation

Comme le montre la figure \(\PageIndex{5}\), la linéarité de l’aire nécessite d’attribuer des valeurs négatives à certaines aires. Si l’on compare les aires \(+1\) et \(-1\), on constate que la seule différence est celle de l’orientation, ou de la main. Dans le cas auquel nous avons arbitrairement attribué l’aire \(+1\), le vecteur b se trouve dans le sens inverse des aiguilles d’une montre par rapport au vecteur a, mais lorsque a est flipped, l’orientation relative devient dans le sens des aiguilles d’une montre.

Si vous avez eu la formation habituelle de physique de première année, alors vous avez vu cette question traitée d’une manière particulière, qui consiste à supposer qu’une troisième dimension existe, et à définir l’aire comme étant le produit vectoriel croisé \(a×b\), qui est perpendiculaire au plan habité par \(a\) et \(b\). Le problème de cette approche est qu’elle ne fonctionne qu’en trois dimensions. En quatre dimensions, supposons que a se trouve le long de l’axe \(x\), et \(b\) le long de l’axe \(t\). Si nous devions définir \(a×b\), ce serait dans une direction perpendiculaire à ces deux axes, mais il existe plusieurs directions. Nous pourrions choisir n’importe quelle direction dans le plan \(y-z\).

Pour commencer à aborder cette question en m dimensions, où \(m\) n’est pas nécessairement égal à \(3\), nous pouvons considérer le volume \(m\) du parallélépipède \(m\) dimensionnel couvert par les vecteurs \(m\). Par exemple, supposons que dans l’espace-temps à 4 dimensions, nous choisissions nos vecteurs \(m\) comme étant les vecteurs unitaires situés le long des quatre axes des coordonnées de Minkowski, \(\hat{t},\hat{x},\hat{y}\ ; \text{et}\ ; \hat{z}\). D’après notre expérience du produit vectoriel croisé, qui est anticommutatif, nous nous attendons à ce que le signe du résultat dépende de l’ordre des vecteurs, donc prenons-les dans cet ordre. Il est clair qu’il n’y a que deux valeurs raisonnables que nous pouvons imaginer pour ce volume : \(+1\) ou \(-1\). Le choix est arbitraire, donc nous faisons un choix arbitraire. Disons que c’est \(+1\) pour cet ordre. Cela revient à choisir une orientation pour l’espace-temps.

Une hypothèse cachée et non triviale était qu’une fois que nous avions fait ce choix en un point de l’espace-temps, il pouvait être reporté sur d’autres régions de l’espace-temps de manière cohérente. Ce n’est pas nécessairement le cas, comme le suggère la figure \(\PageIndex{6}\).

Cependant, notre sujet du moment est la relativité restreinte, et comme discuté briefly dans la section 2.4, il est habituellement supposé dans la relativité restreinte que l’espace-temps est topologiquement trivial, de sorte que cette question ne se pose que dans la relativité générale, et seulement dans des espaces-temps qui ne sont probablement pas des modèles réalistes de notre univers.

Puisque le \(4\)-volume est invariant sous les rotations et les transformations de Lorentz, notre choix d’une orientation suffit à fixer une définition du \(4\)-volume qui est un invariant de Lorentz. Si les vecteurs \(a\), \(b\), \(c\), et \(d\) couvrent un parallélépipède \(4\), alors la linéarité du volume est exprimée en disant qu’il existe un ensemble de coefficients \(\epsilon _{ijkl}\) tel que

\

Noter de cette façon suggère que nous l’interprétons comme une notation d’indice abstraite, auquel cas l’absence d’indices sur \(V\) signifie que ce n’est pas seulement un invariant de Lorentz mais aussi un scalaire.

Le résultat de l’exemple \(\PageIndex{2}\) nous indique que selon notre convention que le volume est un scalaire, les composantes de doivent changer lorsque nous changeons de coordonnées. On pourrait arguer qu’il serait plus logique de considérer la transformation dans cet exemple comme un changement d’unités, auquel cas la valeur de \(V\) serait différente dans les nouvelles unités ; c’est une convention alternative possible, mais elle aurait l’inconvénient de rendre impossible la lecture des propriétés de transformation d’un objet à partir du nombre et de la position de ses indices. Avec notre convention, nous pouvons lire les propriétés de transformation de cette manière. Bien que la section 7.4 ne présente ces propriétés que dans le cas des tenseurs de rang \(0\) et \(1\), reportant la description générale des tenseurs de rang supérieur à la section 9.2, les propriétés de transformation de \(\epsilon\) sont, comme l’impliquent ses quatre indices, celles d’un tenseur de rang \(4\). Différents auteurs utilisent différentes conventions concernant la définition de \(\epsilon\), qui a été initialement décrite par le mathématicien Levi-Civita.

Puisque par notre convention \(\epsilon\) est un tenseur, nous nous y référons comme le tenseur de Levi-Civita. Dans d’autres conventions, où \(\epsilon\) n’est pas un tenseur, il peut être appelé le symbole de Levi-Civita. Comme la notation n’est pas normalisée, je mettrai occasionnellement un rappel à côté des équations importantes contenant \(\epsilon\) indiquant qu’il s’agit du tenseur \(\epsilon\).

Le tenseur de Levi-Civita a beaucoup, beaucoup d’indices. Effrayant ! Imaginez la complexité de cette bête. (Sob.) Nous avons quatre choix pour le premier indice, quatre pour le second, et ainsi de suite, de sorte que le nombre total de composants est de \(256\). Attendez, ne prenez pas votre kleenex. L’exemple suivant montre que cette complexité est illusoire.

L’exemple \(\PageIndex{3}\) montre que le symbole fantaisiste \(\epsilon _{ijkl}\), qui ressemble à un hiéroglyphe secret maya invoquant \(256\) différents nombres, ne code en fait qu’un seul nombre d’informations ; chaque composant du tenseur est soit égal à ce nombre, soit inférieur à ce nombre, soit nul. Supposons que nous travaillions dans un ensemble de coordonnées, qui peuvent ne pas être de Minkowski, et que nous voulions trouver ce nombre. Une façon compliquée de le trouver serait d’utiliser la loi de transformation tensorielle pour un tenseur de rang (section 9.2). Un moyen beaucoup plus simple consiste à utiliser le déterminant de la métrique, discuté dans l’exemple 6.2.1. Pour une liste de coordonnées ijkl qui sont triées dans l’ordre que nous définissons comme étant une orientation positive, le résultat est simplement \(\epsilon _{ijkl} = \sqrt{\left | det\ ; g \right |}\). Le signe de la valeur absolue est nécessaire car une métrique relativiste a un déterminant négatif.