Kromaattinen asteikko länsimaisessa musiikissa jakaa oktaavin 12 osaan. Oktaavin jakamiseen 12 osaan on olemassa hieman erilaisia tapoja, ja eri lähestymistavoilla on pitkä ja hienovarainen historia. Tässä postauksessa tarkastellaan erojen juurta.
Oktaavi on suhde 2:1. Oletetaan, että tietyn kireyden ja pituuden omaava jousi tuottaa A:n, kun sitä nypitään. Jos teet jousesta kaksi kertaa kireämmän tai pidät saman kireyden ja katkaiset jousen kahtia, jousi kuulostaa A:lta oktaavia korkeammalta. Uusi ääni värähtelee ilmaa kaksi kertaa sekunnissa.
Viidennes on suhde 3:2 samalla tavalla kuin oktaavi on suhde 2:1. Jos siis aloitamme A 440:stä (sävel, joka värähtelee 440 Hz:n taajuudella, 440 värähtelyä sekunnissa), niin viidesosan verran A:n yläpuolella oleva E värähtelee 660 Hz:n taajuudella.
Voimme nousta ylöspäin viidenneksillä ja laskea alaspäin oktaaveilla tuottaaksemme kromaattisen asteikon jokaisen sävelen. Jos esimerkiksi nousemme E:stä 660:sta vielä yhden viidenneksen ylöspäin, saamme B 990:n. Sitten jos menemme oktaavin alaspäin B 495:een, saamme B:n askeleen A 440:n yläpuolelle. Tämä sanoo, että ”sekunti”, kuten väli A:sta B:hen, on suhde 9:8. Seuraavaksi voisimme tuottaa F#:n menemällä viidenneksen ylöspäin B:stä jne. Tätä sävelten etenemistä kutsutaan viidenneksen kehäksi.
Seuraavaksi otamme toisenlaisen lähestymistavan. Aina kun nousemme kromaattisessa asteikossa puoli askelta ylöspäin, kasvatamme sävelkorkeutta suhteella r. Kun teemme tämän 12 kertaa, nousemme oktaavin verran, joten r12:n on oltava 2. Tämä sanoo, että r on 2:n 12. juuri. Jos aloitamme A 440:stä, sävelkorkeuden n puoli askelta ylempänä on oltava 2n/12 kertaa 440.
Nyt meillä on kaksi tapaa nousta viidenneksellä. Ensimmäinen lähestymistapa sanoo, että viidesosa on suhde 3:2. Koska viidesosa on seitsemän puoliaskelta, toinen lähestymistapa sanoo, että viidesosa on suhde 27/12:een ja 1:een. Jos nämä ovat yhtä suuret, olemme todistaneet, että 27/12 on yhtä kuin 3/2. Valitettavasti tämä ei ole aivan totta, vaikka se onkin hyvä approksimaatio, koska 27/12 = 1,498. Suhdetta 3/2 kutsutaan ”täydelliseksi” viidennekseksi, jotta se eroaisi suhteesta 1,498. Ero täydellisten kvinttien ja tavallisten kvinttien välillä on pieni, mutta se suurenee, kun käytät täydellisiä kvinttejä rakentaaksesi jokaisen sävelen.
Menetelmää, jossa jokainen sävel tehdään täydellisten kvinttien ja oktaavien avulla, kutsutaan pythagoraan viritykseksi. Lähestymistapa, jossa käytetään 12. juurta 2:sta, tunnetaan nimellä ekvivalenttinen temperointi. Koska 1,498 ei ole sama kuin 1,5, nämä kaksi lähestymistapaa tuottavat erilaiset viritysjärjestelmät. On olemassa erilaisia kompromisseja, joilla pyritään säilyttämään molempien järjestelmien piirteitä. Kukin kompromissiryhmä tuottaa erilaisen viritysjärjestelmän. Itse asiassa Pythagoraan viritysjärjestelmä on hieman monimutkaisempi kuin edellä on kuvattu, koska sekin sisältää jonkin verran kompromisseja.
Seuraava viesti: Viidesosaympyrä ja numeroteoria