Lineaaristen ja rotaatiomäärien välinen suhde
Liikkeen kuvaaminen voisi joskus olla helpompaa kulmasuureiden, kuten kulmanopeuden, rotaatioinertian, vääntömomentin jne. avulla.
Oppimistavoitteet
Ohjata tasainen ympyräliike lineaarisista yhtälöistä
Keskeiset johtopäätökset
Keskeiset kohdat
- Kun käytämme massaa, lineaarista impulssia, translaatiokineettistä energiaa ja Newtonin 2. lakia kuvaamaan lineaarista liikettä, voimme kuvata yleistä pyörimisliikettä käyttämällä vastaavia skalaari/vektori/tensori-suureita.
- Kulmanopeudella ja lineaarisella nopeudella on seuraava suhde: \times \bf{\text{F}}, kuvaamaan kulmaliikettä. Kuvaukset ovat ekvivalentteja, ja valinta voidaan tehdä puhtaasti käyttömukavuuden vuoksi.
Avaintermit
- tasainen ympyräliike: Liike ympyräradan ympäri vakionopeudella.
- vääntömomentti: Voiman pyörimis- tai kiertovaikutus; (SI-yksikkö newton-metri tai Nm; imperial-yksikkö foot-pound tai ft-lb)
- Pyörimisinertia: Pyörivän kappaleen taipumus pysyä pyörivänä, ellei siihen kohdisteta vääntömomenttia.
Ympyräliikkeen määrittely
Ympyräliikkeen kuvaaminen onnistuu paremmin kulmasuureen kuin lineaarisen vastakappaleen kuvaamisen avulla. Syyt ovat helposti ymmärrettävissä. Tarkastellaan esimerkiksi tasaisen ympyräliikkeen tapausta. Tällöin hiukkasen nopeus muuttuu – vaikka liike on ”tasainen”. Nämä kaksi käsitettä eivät sovi yhteen. Termin ”tasainen” yleinen mielleyhtymä viittaa ”pysyvään”, mutta todellisuudessa nopeus muuttuu koko ajan.
Pyörivä kappale: Jokainen kappaleen muodostava hiukkanen suorittaa tasaisen ympyräliikkeen kiinteän akselin ympäri. Liikkeen kuvaamiseen kulmasuureet ovat parempi valinta.
Kun kuvaamme tasaista ympyräliikettä kulmanopeuden avulla, ristiriitaa ei synny. Nopeus (eli kulmanopeus) on todellakin vakio. Tämä on ensimmäinen etu siitä, että kuvaamme tasaista ympyräliikettä kulmanopeuden avulla.
Toisena etuna on, että kulmanopeus ilmaisee hiukkasen pyörimisen fysikaalisen merkityksen verrattuna lineaariseen nopeuteen, joka ilmaisee translatorista liikettä. Vaihtoehtoisesti kulmanopeuskuvaus korostaa kahden liiketyypin (translaatio- ja rotaatioliike) välistä eroa.
Lineaarisen ja kulmanopeuden välinen suhde
Tarkastellaan yksinkertaisuuden vuoksi tasaista ympyräliikettä. Kaaren pituudelle, joka vähentää kulman ” origossa ja ”r” on hiukkasen sijainnin sisältävän ympyrän säde, on \text{s}=\text{r}\theta .
Differentioimalla ajan suhteen on
\frac{\text{ds}}{\text{ds}{\text{dt}} = \frac{\text{dr}}{\text{dt}} \theta + \text{r}\frac{\text{d}\theta}{\text{dt}}.
Koska \frac{\text{dr}{\text{dt}} = 0 tasaiselle ympyräliikkeelle, saadaan \text{v} = \omega \text{r}. Vastaavasti saadaan myös \text{a} = \alpha \text{r}, jossa \text{a} tarkoittaa lineaarista kiihtyvyyttä, kun taas \alpha viittaa kulmakiihtyvyyteen (Yleisemmässä tapauksessa kulma- ja lineaaristen suureiden välinen suhde saadaan seuraavasti: \bf{\text{v} = \omega \times \text{r}}, ~~ ~~ \bf{\text{a} = \alpha \times \text{r}). + \omega \times \text{v}}. )
Rotaatiokinemaattiset yhtälöt
Lineaarisen ja kulmanopeuden/kiihdytyksen suhteen avulla voimme johtaa seuraavat neljä rotaatiokinemaattista yhtälöä vakioille \text{a} ja \alpha:
\omega =\omega 0+\alpha \text{t}: \text{v}=\text{v}0+\text{at}
\theta =\omega 0\text{t}+(1/2)\alpha \text{t}2: \text{x}=\text{v}0\text{t}+(1/2)\text{at}2
\omega 2=\omega 02+2: \text{v}2=\text{v}02+2\text{ax}
Massa, momentti, energia ja Newtonin toinen laki
Kuten käytämme massaa, lineaarista momenttia, translaatiokineettistä energiaa ja Newtonin 2. lakia kuvaamaan lineaarista liikettä, voimme kuvata yleistä pyörivää liikettä käyttämällä vastaavia skalaari/vektori/tensorisuuksia:
- Massa/ Pyörimisinertia:
- Lineaarinen/kulmamomentti:
- Voima/ vääntömomentti:
- Kineettinen energia:
Kuten esimerkiksi käytämme liikeyhtälöä \text{F} = \text{ma} kuvaamaan lineaarista liikettä, voimme käyttää sen vastinetta \bf{\tau} = \frac{\text{d}\bf{\text{L}}}{\text{dt}}} = \bf{\text{r}} \times \bf{\text{F}} kuvaamaan kulmaliikettä. Kuvaukset ovat samanarvoisia, ja valinta voidaan tehdä puhtaasti käyttömukavuuden vuoksi.