Jatkamalla 15-75-90-kolmioiden teemaa (Katso: Viime kerralla ja Ensimmäisellä kerralla) on viime aikoina tullut esiin useita mielenkiintoisia riffejä 15-75-90:stä laatikossa.
Esimerkki neliön jakamisesta neljällä 15-75-90-kolmiolla:
Kuten usein on tapana, kolmioiden ja neliön suhteellisen pinta-alan löytäminen on suoraviivaista trigonometrian avulla:
Olkoon s neliön sivujen pituus:
Kummankin kolmion pinta-ala = \(\frac{1}{2} s^2 cos(15)sin(15) \) ja käyttämällä kaksinkertaisen kulman kaavoja
\(sin(30)=2sin(15)cos(15)\) joten korvaamisen jälkeen ja tietäen sin(30) = \(\frac{1}{2}\) ulos ponnahtaa pinta-ala = \(\frac{1}{8}s^2\)
Mutta miksi näin tapahtuu? Kuten tavallista, 30-60-90 kolmio yleensä vaanii ympärillä, joka mahdollistaa euklidisen selityksen.
Erityisen mielenkiintoista tässä on se, että se vihjaa, että on olemassa leikkauksia, joilla voidaan muuttaa 1/4 tai 1/8 suuremmasta neliöstä kolmioiksi, ja tosiaankin liu’utetaan 1/4-kolmiota ABO:lla, kunnes siitä tulee 2 kpl 15-75-90′!”
Mutta palataan alkuperäiseen ongelmaan. On toinenkin helppo selitys tapahtumalle, jossa käytetään vain kolmion suhdelukuja:
1. Huomaa, että tämän kolmion pinta-ala on \(\frac{1}{2}(2 – \sqrt{3})\)
2. Neliöimällä hypotenuusan saat \(4(2 – \sqrt{3})\), joka on 8-kertainen kolmion pinta-alaan nähden.
3. Tai toisin sanoen kukin kolmion pinta-ala on 1/8 hypotenuusan muodostamasta neliöstä.
Ja olemme löytäneet alkuperäisen tuloksemme uudestaan.
Lisäkysymyksiä: Onko olemassa muita tavallisia kolmioita, jotka jakavat neliön yksikköön tai ”yksinkertaiseen” murtolukuun.
Jättän lukijan päätettäväksi, kumpi tähän ominaisuuteen perustuvista ongelmista on hauskempi (@eylemiltä ja @sansu-seijiniltä):
Tietäen, että neliön pituus on 6cm, kuinka suuri on varjostettu alue?
Kuinka suuri on varjostettu alue?