Numeerinen laskenta
Numeerisen laskennan uusien menetelmien kehittäminen oli vastaus numeerisen laskennan lisääntyneisiin käytännön vaatimuksiin erityisesti trigonometriassa, navigoinnissa ja tähtitieteessä. Uudet ideat levisivät nopeasti ympäri Eurooppaa ja johtivat vuoteen 1630 mennessä suureen vallankumoukseen numeerisen laskennan käytännöissä.
Hollantilainen Simon Stevin esitteli lyhyessä pamfletissaan La Disme (1585) kymmenjärjestelmän murtoluvut Euroopassa ja osoitti, miten hindu-arabialaisen aritmetiikan periaatteet voidaan ulottaa koskemaan laskemista näillä luvuilla. Stevin korosti desimaaliaritmetiikan käyttökelpoisuutta ”kaikissa ihmisten asioissa esiintyvissä laskuissa”, ja hän selitti liitteessä, miten sitä voitiin soveltaa maanmittaukseen, stereometriaan, tähtitieteeseen ja mittaukseen. Hänen ajatuksenaan oli laajentaa 10-kantainen paikannusperiaate koskemaan murtolukuja ja vastaavasti laajentaa merkintätapoja näitä tapauksia varten. Hänen järjestelmässään luku 237,578 merkittiin
jossa nollan vasemmalla puolella olevat numerot ovat luvun kokonaisosa. Nollan oikealla puolella ovat murtoluvun numerot, ja jokaisen numeron perässä on ympyröity luku, joka osoittaa negatiivisen potenssin, johon 10 korotetaan. Stevin osoitti, miten kokonaislukujen tavanomainen aritmetiikka voitiin laajentaa desimaalimurtolukuihin käyttämällä sääntöjä, jotka määrittelivät 10:n negatiivisten potenssien sijainnin.
Käytännöllisen hyödyllisyytensä lisäksi La Disme oli merkittävä sen vuoksi, että se horjutti klassisen kreikkalaisen geometrian hallitsevaa tyyliä teoreettisessa matematiikassa. Stevinin ehdotus edellytti, että hylättiin euklidisessa geometriassa tehty ero suuruuden, joka on jatkuva, ja lukumäärän, joka on jakamattomien yksiköiden paljous, välillä. Eukleideelle ykseys eli yksi oli erityinen asia, ei luku vaan luvun alkuperä tai periaate. Desimaalimurtolukujen käyttöönotto näytti merkitsevän sitä, että yksikkö voitiin jakaa ja että mielivaltainen jatkuva suuruus voitiin esittää numeerisesti; se oletti epäsuorasti yleisen positiivisen reaaliluvun käsitteen.
Logaritmitaulukot julkaisi ensimmäisen kerran vuonna 1614 skotlantilainen laird John Napier tutkielmassaan Description of the Marvelous Canon of Logarithms. Tätä teosta seurasi (postuumisti) viisi vuotta myöhemmin toinen teos, jossa Napier esitti taulukoidensa rakentamisessa käytetyt periaatteet. Logaritmien perusajatuksena on, että yhteen- ja vähennyslasku on helpompi suorittaa kuin kertolasku ja jakolasku, jotka, kuten Napier totesi, vaativat ”työlästä ajankäyttöä” ja joihin liittyy ”liukkaita virheitä”. Eksponenttien lain mukaan anam = an + m; eli lukujen kertolaskussa eksponentit liittyvät toisiinsa additiivisesti. Korreloimalla geometrinen lukujono a, a2, a3,… (a:ta kutsutaan perusluvuksi) ja aritmeettinen lukujono 1, 2, 3,… keskenään ja interpoloimalla murtolukujen arvoihin on mahdollista vähentää kerto- ja jako-ongelma yhteen- ja vähennyslaskuongelmaksi. Napier valitsi tätä varten perusluvun, joka oli hyvin lähellä 1:tä ja erosi siitä vain 1/107:llä. Näin saatu geometrinen sarja antoi tiheän arvojoukon, joka soveltui taulukon rakentamiseen.
Vuonna 1619 ilmestyneessä teoksessaan Napier esitteli mielenkiintoisen kinemaattisen mallin, jonka avulla hän pystyi tuottamaan taulukoidensa rakentamisessa käytetyt geometriset ja aritmeettiset sarjat. Oletetaan, että kaksi hiukkasta liikkuu erillisiä linjoja pitkin annetuista alkupisteistä. Hiukkaset lähtevät liikkeelle samalla hetkellä samalla nopeudella. Ensimmäinen hiukkanen jatkaa liikkumistaan nopeudella, joka pienenee joka hetki suhteessa etäisyyteen, joka on jäljellä sen ja jonkun tietyn kiinteän pisteen välillä viivalla. Toinen hiukkanen liikkuu vakionopeudella, joka on yhtä suuri kuin sen lähtönopeus. Ensimmäisen hiukkasen peräkkäisinä ajanjaksoina kulkemat matkat muodostavat geometrisesti vähenevän sarjan, kun otetaan huomioon mikä tahansa ajanlisäys. Vastaavat toisen hiukkasen kulkemat matkat muodostavat aritmeettisesti kasvavan sarjan. Napier pystyi tämän mallin avulla johtamaan teoreemoja, jotka antoivat tarkat rajat näiden kahden sarjan likiarvoille.
Napierin kinemaattinen malli osoitti, kuinka taitaviksi matemaatikot olivat 1600-luvun alkuun mennessä tulleet epäyhtenäisen liikkeen analysoinnissa. Kinemaattiset ideat, jotka esiintyivät usein tuon ajan matematiikassa, tarjosivat selkeän ja visualisoitavan keinon geometristen suureiden tuottamiseen. Käsitys käyristä, joita avaruudessa liikkuva hiukkanen jäljittää, oli myöhemmin merkittävässä roolissa laskennan kehityksessä.
Napierin ajatukset otti käyttöön ja tarkisti englantilainen matemaatikko Henry Briggs, Oxfordin ensimmäinen Savilianin geometrian professori. Vuonna 1624 Briggs julkaisi laajan taulukon tavallisista logaritmeista eli logaritmeista peruslukuun 10. Koska perusta ei ollut enää lähellä ykköstä, taulukkoa ei voitu saada yhtä yksinkertaisesti kuin Napierin taulukkoa, ja Briggs kehitti siksi äärellisten differenssien laskentatekniikoita helpottaakseen merkintöjen laskemista. Hän kehitti myös laskennallisesti erittäin tehokkaita interpolointimenetelmiä väliarvojen saamiseksi.
Sveitsiläinen instrumentinvalmistaja Joost Bürgi päätyi logaritmien ideaan Napierista riippumatta, vaikka hän julkaisi tuloksensa vasta vuonna 1620. Neljä vuotta myöhemmin Marburgissa ilmestyi Keplerin laatima logaritmitaulukko. Sekä Bürgi että Kepler olivat tähtitieteilijöitä, ja Kepler sisällytti logaritmitaulukot kuuluisiin Tabulae Rudolphinae -taulukoihinsa (1627; ”Rudolphin taulukot”), jotka ovat tähtitieteellisiä taulukoita planeettojen liikkeistä, jotka on johdettu käyttämällä oletusta elliptisistä kiertoradoista Auringon ympäri.