7.6: Tilavuus, orientaatio ja Levi-Civita-tensori

Orientaatio

Kuten kuvasta \(\PageIndex{5}\) käy ilmi, pinta-alan lineaarisuus edellyttää, että joillekin alueille annetaan negatiivisia arvoja. Jos vertaamme alueita \(+1\) ja \(-1\), huomaamme, että ainoa ero on suuntaus eli kätisyys. Tapauksessa, jossa olemme mielivaltaisesti määrittäneet alueen \(+1\), vektori b on vastapäivään vektorista a, mutta kun a on flipped, suhteellinen suunta on myötäpäivään.

Jos sinulla on ollut tavallinen fysiikan fuksitausta, olet nähnyt tämän ongelman käsiteltävän tietyllä tavalla, nimittäin siten, että oletamme kolmannen ulottuvuuden olevan olemassa ja määrittelemme pinta-alan vektorin ristituloksi \(a×b\), joka on kohtisuorassa tasoon nähden, jota \(a\) ja \(b\) asuttavat. Tämän lähestymistavan ongelmana on, että se toimii vain kolmessa ulottuvuudessa. Oletetaan, että neljässä ulottuvuudessa a sijaitsee \(x\)-akselilla ja \(b\) \(t\)-akselilla. Jos määrittelisimme \(a×b\):n, sen pitäisi olla suunnassa, joka on kohtisuorassa näitä molempia vastaan, mutta tällaisia suuntia on enemmän kuin yksi. Voisimme valita minkä tahansa \(y-z\)-tason.

Jotta pääsisimme alkuun tässä asiassa m-ulottuvuuksissa, joissa \(m\) ei välttämättä ole yhtä suuri kuin \(3\), voimme tarkastella \(m\)-vektoreiden kattaman \(m\)-ulotteisen rinnakkaissärmiön \(m\)-tilavuutta. Oletetaan esimerkiksi, että \(4\)-ulotteisessa avaruusajassa valitsemme \(m\)-vektoreiksi yksikkövektorit, jotka sijaitsevat Minkowskin koordinaattien neljän akselin \(\hat{t},\hat{x},\hat{y}\; \text{and}\; \hat{z}\) varrella. Vektorien ristitulosta, joka on antikommutatiivinen, koskevan kokemuksen perusteella oletamme, että tuloksen merkki riippuu vektoreiden järjestyksestä, joten otetaan ne tässä järjestyksessä. On selvää, että on vain kaksi järkevää arvoa, jotka voimme kuvitella tälle tilavuudelle: \(+1\) tai \(-1\). Valinta on mielivaltainen, joten teemme mielivaltaisen valinnan. Sanotaan, että se on \(+1\) tässä järjestyksessä. Tämä on yhtä kuin avaruusajan orientaation valitseminen.

Kätketty ja ei-triviaali oletus oli, että kun kerran teimme tämän valinnan yhdessä pisteessä avaruusaikaa, se voitiin siirtää johdonmukaisesti muihin alueisiin avaruusajassa. Näin ei tarvitse olla, kuten kuvassa \(\PageIndex{6}\) ehdotetaan.

Mutta aiheemme on tällä hetkellä erityinen suhteellisuusteoria, ja kuten kappaleessa 2.4 briefly käsiteltiin, erityisessä suhteellisuusteoriassa oletetaan yleensä, että avaruusaika on topologisesti triviaalia, joten tämä kysymys nousee esiin vain yleisessä suhteellisuusteoriassa ja vain sellaisissa avaruusajoissa, jotka eivät luultavasti ole maailmankaikkeutemme realistisia malleja.

Koska \(4\)-tilavuus on invariantti rotaatioille ja Lorentz-muunnoksille, orientaation valintamme riittää vahvistamaan \(4\)-tilavuuden määritelmän, joka on Lorentz-invarianti. Jos vektorit \(a\), \(b\), \(c\) ja \(d\) kattavat \(4\)-suorakulmion, tilavuuden lineaarisuus ilmaistaan sanomalla, että on olemassa joukko kertoimia \(\epsilon _{ijkl}\), jotka ovat sellaisia, että

\

Merkitseminen tällä tavalla viittaa siihen, että tulkitaan abstraktiksi indeksien merkintätavoiksi, jolloin indeksien puuttuminen \(V\):stä tarkoittaa, että se ei ole vain Lorentzin invariantti vaan myös skalaari.

Esimerkin \(\PageIndex{2}\) tulos kertoo, että konventiomme mukaan tilavuus on skalaari, komponenttien on muututtava, kun muutamme koordinaatteja. Voidaan väittää, että olisi loogisempaa ajatella muunnosta tässä esimerkissä yksiköiden muutoksena, jolloin \(V\):n arvo olisi erilainen uusissa yksiköissä; tämä on mahdollinen vaihtoehtoinen konventio, mutta sen haittapuolena olisi se, että objektin muunnosominaisuuksia ei olisi mahdollista lukea sen indeksien lukumäärästä ja sijainnista. Konventiomme mukaan voimme lukea muunnosominaisuudet tällä tavalla. Vaikka luvussa 7.4 esiteltiin nämä ominaisuudet vain \(0\)- ja \(1\)-arvoisille tensoreille ja lykättiin korkeamman asteen tensoreiden yleinen kuvaus lukuun 9.2, \(\epsilon\):n transformaatio-ominaisuudet ovat, kuten sen neljästä alaindeksistä käy ilmi, arvoltaan \(4\)-arvoiselle tensorille ominaisia. Eri kirjoittajat käyttävät erilaisia konventioita \(\epsilon\):n määritelmästä, jonka alun perin kuvasi matemaatikko Levi-Civita.

Koska \(\epsilon\) on konventiomme mukaan tensori, kutsumme sitä Levi-Civita-tensoriksi. Muissa konventioissa, joissa \(\epsilon\) ei ole tensori, siihen voidaan viitata Levi-Civita-symbolina. Koska merkintätapa ei ole vakiintunut, laitan toisinaan tärkeiden \(\epsilon\) -yhtälöiden viereen muistutuksen, jossa todetaan, että kyseessä on tensori \(\epsilon\).

Levi-Civita-tensorilla on paljon ja paljon indeksejä. Pelottavaa! Kuvittele tämän pedon monimutkaisuus. (Sob.) Meillä on neljä vaihtoehtoa ensimmäiselle indeksille, neljä toiselle ja niin edelleen, joten komponenttien kokonaismäärä on \(256\). Odota, älä tartu nenäliinaan. Seuraava esimerkki osoittaa, että tämä monimutkaisuus on näennäistä.

Esimerkki \(\PageIndex{3}\) osoittaa, että hieno symboli \(\epsilon _{ijkl}\), joka näyttää salaperäiseltä mayojen hieroglyfiltä, joka kutsuu \(256\) eri lukuja, koodaa itse asiassa vain yhden luvun verran informaatiota; tensorin jokainen komponentti on joko yhtä suuri kuin tämä luku, tai miinus tämän luvun verran, tai nolla. Oletetaan, että työskentelemme jossakin koordinaatistossa, joka ei välttämättä ole Minkowski, ja haluamme löytää tämän luvun. Monimutkainen tapa löytää se olisi käyttää rank-\(4\)-tensorin tensorimuunnoslakia (luku 9.2). Paljon yksinkertaisempi tapa on käyttää metriikan determinanttia, jota käsitellään esimerkissä 6.2.1. Koordinaattiluettelolle ijkl, joka on järjestetty järjestykseen, jonka määrittelemme positiiviseksi orientaatioksi, tulos on yksinkertaisesti \(\epsilon _{ijkl} = \sqrt{\left | det\; g \right |}\). Absoluuttisen arvon merkki tarvitaan, koska relativistisella metriikalla on negatiivinen determinantti.

.