Las leyes de la física cuántica se aplican al mundo de las partículas elementales del mismo modo que las leyes de la mecánica clásica de Newton se aplican al mundo macroscópico. Hace casi medio siglo, Yang y Mills introdujeron un nuevo marco extraordinario para describir las partículas elementales utilizando estructuras que también se dan en la geometría. La teoría cuántica de Yang-Mills es ahora el fundamento de la mayor parte de la teoría de las partículas elementales, y sus predicciones se han puesto a prueba en muchos laboratorios experimentales, pero su fundamento matemático aún no está claro. El éxito de la teoría de Yang-Mills para describir las interacciones fuertes de las partículas elementales depende de una sutil propiedad mecánica cuántica llamada «brecha de masa»: las partículas cuánticas tienen masas positivas, aunque las ondas clásicas viajen a la velocidad de la luz. Esta propiedad ha sido descubierta por los físicos a partir de experimentos y confirmada por simulaciones informáticas, pero todavía no se ha entendido desde un punto de vista teórico. El progreso en el establecimiento de la existencia de la teoría de Yang-Mills y de una brecha de masa requerirá la introducción de nuevas ideas fundamentales tanto en física como en matemáticas.