Continuando con el tema de los triángulos 15-75-90 (Ver: La última vez y La primera vez) han surgido recientemente varios riffs interesantes sobre los 15-75-90 en una caja.
Ejemplo de división de un cuadrado con cuatro triángulos 15-75-90:
Como suele ocurrir, encontrar el área relativa de los triángulos y del cuadrado es sencillo utilizando la trigonometría:
Sea s la longitud de los lados del cuadrado:
El área de cada triángulo = \frac{1}{2} s^2 cos(15)sin(15) \f) y utilizando las fórmulas del ángulo doble
(sin(30)=2sin(15)cos(15)\f) así que tras la sustitución y sabiendo que sin(30) = \frac{1}{2}\) sale el área = \frac{1}{8}s^2)
¿Pero por qué ocurre esto? Como siempre, suele haber un triángulo 30-60-90 al acecho que permite una explicación euclidiana.
Lo que es particularmente interesante de esto es que insinúa que existen disecciones para transformar un 1/4 o 1/8 del cuadrado mayor en los triángulos y, efectivamente, ¡deslizas el 1/4 del triángulo ABO hasta que se convierte en 2 15-75-90′! 
Pero volvamos al problema original. Hay otra explicación fácil de lo que ocurre que sólo utiliza los cocientes del triángulo:
1. Obsérvese que el área de este triángulo es \(\frac{1}{2}(2 – \sqrt{3})\N
2. Elevando al cuadrado la hipotenusa se obtiene \(4(2 – \sqrt{3})\Nque es 8 veces el área del triángulo.
3. O lo que es lo mismo, cada triángulo es 1/8 del cuadrado hecho en la hipotenusa.
Y hemos vuelto a encontrar nuestro resultado original.
Preguntas adicionales: ¿Existen otros triángulos comunes que dividan el cuadrado en una unidad o fracción «simple».
Dejo al lector que decida qué problema basado en esta propiedad es más divertido (de @eylem y @sansu-seijin):
Dado el cuadrado de longitud 6cm, ¿qué tamaño tiene la región sombreada?