Cálculo numérico
El desarrollo de nuevos métodos de cálculo numérico fue una respuesta a las crecientes exigencias prácticas del cálculo numérico, especialmente en trigonometría, navegación y astronomía. Las nuevas ideas se extendieron rápidamente por Europa y, hacia 1630, dieron lugar a una importante revolución en la práctica numérica.
Simon Stevin de Holanda, en su breve folleto La Disme (1585), introdujo las fracciones decimales en Europa y mostró cómo extender los principios de la aritmética hindú-árabe al cálculo con estos números. Stevin destacó la utilidad de la aritmética decimal «para todas las cuentas que se encuentran en los asuntos de los hombres», y explicó en un apéndice cómo podía aplicarse a la topografía, la estereometría, la astronomía y la medición. Su idea era extender el principio posicional de base 10 a los números con partes fraccionarias, con la correspondiente extensión de la notación para cubrir estos casos. En su sistema, el número 237,578 se denota
en el que los dígitos a la izquierda del cero son la parte integral del número. A la derecha del cero están los dígitos de la parte fraccionaria, con cada dígito sucedido por un número encerrado en un círculo que indica la potencia negativa a la que se eleva 10. Stevin mostró cómo la aritmética habitual de los números enteros podía extenderse a las fracciones decimales, utilizando reglas que determinaban la posición de las potencias negativas de 10.
Además de su utilidad práctica, La Disme fue significativa por la forma en que socavó el estilo dominante de la geometría griega clásica en la matemática teórica. La propuesta de Stevin exigía rechazar la distinción en la geometría euclidiana entre magnitud, que es continua, y número, que es una multitud de unidades indivisibles. Para Euclides, la unidad, o el uno, era un tipo especial de cosa, no el número sino el origen, o el principio, del número. La introducción de las fracciones decimales parecía implicar que la unidad podía subdividirse y que la magnitud continua arbitraria podía representarse numéricamente; suponía implícitamente el concepto de un número real positivo general.
Las tablas de logaritmos fueron publicadas por primera vez en 1614 por el laird escocés John Napier en su tratado Description of the Marvelous Canon of Logarithms. Esta obra fue seguida (póstumamente) cinco años después por otra en la que Napier expuso los principios utilizados en la construcción de sus tablas. La idea básica de los logaritmos es que la suma y la resta son más fáciles de realizar que la multiplicación y la división, que, como observó Napier, requieren un «tedioso gasto de tiempo» y están sujetas a «errores resbaladizos». Por la ley de los exponentes, anam = an + m; es decir, en la multiplicación de números, los exponentes se relacionan aditivamente. Correlacionando la secuencia geométrica de números a, a2, a3,…(a se llama la base) y la secuencia aritmética 1, 2, 3,…e interpolando a valores fraccionarios, es posible reducir el problema de la multiplicación y la división a uno de suma y resta. Para ello, Napier eligió una base muy próxima a 1, de la que sólo difiere en 1/107. La secuencia geométrica resultante daba, por tanto, un conjunto denso de valores, adecuado para construir una tabla.
En su obra de 1619 Napier presentó un interesante modelo cinemático para generar las secuencias geométricas y aritméticas utilizadas en la construcción de sus tablas. Supongamos que dos partículas se mueven a lo largo de líneas separadas desde puntos iniciales dados. Las partículas comienzan a moverse en el mismo instante con la misma velocidad. La primera partícula continúa moviéndose con una velocidad decreciente, proporcional en cada instante a la distancia que queda entre ella y algún punto fijo dado de la línea. La segunda partícula se mueve con una velocidad constante igual a su velocidad inicial. Dado cualquier incremento de tiempo, las distancias recorridas por la primera partícula en incrementos sucesivos forman una secuencia geométricamente decreciente. Las correspondientes distancias recorridas por la segunda partícula forman una secuencia aritméticamente creciente. Napier fue capaz de utilizar este modelo para derivar teoremas que daban límites precisos a los valores aproximados de las dos secuencias.
El modelo cinemático de Napier indicaba lo hábiles que se habían vuelto los matemáticos a principios del siglo XVII en el análisis del movimiento no uniforme. Las ideas cinemáticas, que aparecían con frecuencia en las matemáticas de la época, proporcionaban un medio claro y visualizable para la generación de magnitudes geométricas. La concepción de una curva trazada por una partícula que se desplaza por el espacio desempeñó más tarde un papel importante en el desarrollo del cálculo.
Las ideas de Napier fueron retomadas y revisadas por el matemático inglés Henry Briggs, el primer profesor Savilian de Geometría en Oxford. En 1624 Briggs publicó una extensa tabla de logaritmos comunes, o logaritmos de base 10. Como la base ya no era cercana a 1, la tabla no podía obtenerse de forma tan sencilla como la de Napier, por lo que Briggs ideó técnicas que implicaban el cálculo de diferencias finitas para facilitar el cálculo de las entradas. También ideó procedimientos de interpolación de gran eficiencia computacional para obtener valores intermedios.
En Suiza, el fabricante de instrumentos Joost Bürgi llegó a la idea de los logaritmos independientemente de Napier, aunque no publicó sus resultados hasta 1620. Cuatro años más tarde apareció en Marburgo una tabla de logaritmos preparada por Kepler. Tanto Bürgi como Kepler eran observadores astronómicos, y Kepler incluyó las tablas logarítmicas en sus famosas Tabulae Rudolphinae (1627; «Tablas Rudolfinas»), tabulaciones astronómicas del movimiento planetario derivadas utilizando la suposición de órbitas elípticas alrededor del Sol.