Relación entre cantidades lineales y rotacionales

La descripción del movimiento podría ser a veces más fácil con cantidades angulares como la velocidad angular, la inercia rotacional, el par, etc.

Objetivos de aprendizaje

Derivar el movimiento circular uniforme a partir de ecuaciones lineales

Consecuencias clave

Puntos clave

  • Como utilizamos la masa, el momento lineal, la energía cinética traslacional y la 2ª ley de Newton para describir el movimiento lineal, podemos describir un movimiento rotacional general utilizando las cantidades escalares/vectoriales/tensoriales correspondientes.
  • La velocidad angular y lineal tienen la siguiente relación: \bf{text{v} = \omega \times \text{r}}.
  • Como utilizamos la ecuación del movimiento \text{F} = \text{ma} para describir un movimiento lineal, podemos utilizar su contrapartida \bf{tau} = \frac{text{d}bf{text{L}} {{text{dt}} = \bf{text{r}} \️, para describir el movimiento angular. Las descripciones son equivalentes, y la elección se puede hacer puramente por la conveniencia de uso.

Términos clave

  • movimiento circular uniforme: Movimiento alrededor de una trayectoria circular con velocidad constante.
  • Par de torsión: Efecto de rotación o torsión de una fuerza; (unidad SI newton-metro o Nm; unidad imperial pie-libra o ft-lb)
  • inercia rotacional: La tendencia de un objeto en rotación a permanecer girando a menos que se le aplique un par de torsión.

Definición del movimiento circular

La descripción del movimiento circular se describe mejor en términos de cantidad angular que su contraparte lineal. Las razones son fáciles de entender. Por ejemplo, consideremos el caso del movimiento circular uniforme. Aquí, la velocidad de la partícula está cambiando – aunque el movimiento es «uniforme». Los dos conceptos no van juntos. La connotación general del término «uniforme» indica «constante», pero la velocidad en realidad está cambiando todo el tiempo.

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Un cuerpo en rotación: Cada partícula que constituye el cuerpo ejecuta un movimiento circular uniforme alrededor del eje fijo. Para la descripción del movimiento, las magnitudes angulares son la mejor opción.

Cuando describimos el movimiento circular uniforme en términos de velocidad angular, no hay contradicción. La velocidad (es decir, la velocidad angular) es efectivamente constante. Esta es la primera ventaja de describir el movimiento circular uniforme en términos de velocidad angular.

La segunda ventaja es que la velocidad angular transmite el sentido físico de la rotación de la partícula frente a la velocidad lineal, que indica movimiento de traslación. Alternativamente, la descripción angular enfatiza la distinción entre dos tipos de movimiento (traslacional y rotacional).

Relación entre la velocidad lineal y angular

Para simplificar, consideremos un movimiento circular uniforme. Para la longitud del arco que subtiende el ángulo » en el origen y «r» es el radio de la circunferencia que contiene la posición de la partícula, tenemos que \text{s}=\text{r}\theta .

Diferenciando con respecto al tiempo, tenemos

{frac{text{ds}{text{dt}} = \frac{text{dr}{text{dt}} \theta + \text{r}\frac{text{d}\theta}{text{dt}}.

Como \frac{text{dr}{text{dt}} = 0 para un movimiento circular uniforme, obtenemos \text{v} = \omega \text{r}. Del mismo modo, también obtenemos \text{a} = \alpha \text{r} donde \text{a} representa la aceleración lineal, mientras que \alpha se refiere a la aceleración angular (En un caso más general, la relación entre las cantidades angulares y lineales se dan como \bf{text{v} = \omega \times \text{r}}, ~~ \bf{text{a} = \alpha \times \text{r} + \omega \times \text{v}. )

Ecuaciones cinemáticas rotacionales

Con la relación de la velocidad/aceleración lineal y angular, podemos derivar las siguientes cuatro ecuaciones cinemáticas rotacionales para \text{a} y \alpha constantes:

\omega =\omega 0+\alpha \text{t}: \text{v}=\text{v}0+\text{at}

\theta =\omega 0\text{t}+(1/2)\alpha \text{t}2: \text{x}=text{v}0\text{t}+(1/2)\text{at}2

\omega 2=\omega 02+2: \text{v}2=\text{v}02+2\text{ax}

Masa, momento, energía y segunda ley de Newton

Como utilizamos la masa, el momento lineal, la energía cinética traslacional y la segunda ley de Newton para describir el movimiento lineal, podemos describir un movimiento rotacional general utilizando las cantidades escalares/vectoriales/tensoriales correspondientes:

  • Masa/Inercia rotacional:
  • Momento linar/angular:
  • Fuerza/ Par:
  • Energía cinética:

Por ejemplo, al igual que utilizamos la ecuación del movimiento \text{F} = \text{ma} para describir un movimiento lineal, podemos utilizar su contrapartida \bf{\tau} = \frac{text{d}{bf{text{L}} = \bf{text{r}} \para describir un movimiento angular. Las descripciones son equivalentes, y la elección se puede hacer puramente por la conveniencia de uso.

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