Orientación
Como se muestra en la figura \(\PageIndex{5}\️), la linealidad del área requiere que a algunas áreas se les asignen valores negativos. Si comparamos las áreas \(+1\) y \(-1\), vemos que la única diferencia es de orientación, o de mano. En el caso al que hemos asignado arbitrariamente el área \(+1\), el vector b está en sentido contrario a las agujas del reloj respecto al vector a, pero cuando a es flipped, la orientación relativa pasa a ser la de las agujas del reloj.
Si has tenido la formación habitual en física de primer año, entonces habrás visto que este tema se trata de una manera particular, que es que suponemos que existe una tercera dimensión, y definimos el área como el producto vectorial cruzado \(a×b\), que es perpendicular al plano habitado por \(a\) y \(b\). El problema de este enfoque es que sólo funciona en tres dimensiones. En cuatro dimensiones, supongamos que a se encuentra a lo largo del eje \(x\), y \(b\) a lo largo del eje \(t\). Entonces, si tuviéramos que definir \(a×b\), debería estar en una dirección perpendicular a ambos, pero tenemos más de una dirección de este tipo. Podríamos elegir cualquier cosa en el plano \(y-z\).
Para empezar con esta cuestión en m dimensiones, donde \(m\) no es necesariamente igual a \(3\), podemos considerar el volumen \(m\) del paralelepípedo \(m\)-dimensional atravesado por los vectores \(m\). Por ejemplo, supongamos que en un espacio-tiempo de 4 dimensiones elegimos que nuestros vectores \(m\) son los vectores unitarios que se encuentran a lo largo de los cuatro ejes de las coordenadas de Minkowski, \(\hat{t},\hat{x},\hat{y}; \text{y}\; \hat{z}). Por experiencia con el producto vectorial cruzado, que es anticomutativo, esperamos que el signo del resultado dependa del orden de los vectores, así que tomémoslos en ese orden. Evidentemente, sólo hay dos valores razonables que podríamos imaginar para este volumen: \(+1\) o \(-1\). La elección es arbitraria, así que hacemos una elección arbitraria. Digamos que es \(+1\) para este orden. Esto equivale a elegir una orientación para el espaciotiempo.
Una suposición oculta y no trivial era que una vez que hiciéramos esta elección en un punto del espaciotiempo, podría llevarse a otras regiones del espaciotiempo de forma consistente. Esto no tiene por qué ser así, como se sugiere en la figura \(\PageIndex{6}\).
Sin embargo, nuestro tema en este momento es la relatividad especial, y como se discute briefly en la sección 2.4, se suele suponer en la relatividad especial que el espaciotiempo es topológicamente trivial, por lo que esta cuestión se plantea sólo en la relatividad general, y sólo en los espaciostiempos que probablemente no son modelos realistas de nuestro universo.
Dado que el volumen \(4\) es invariante bajo rotaciones y transformaciones de Lorentz, nuestra elección de una orientación es suficiente para fijar una definición de volumen \(4\) que sea invariante de Lorentz. Si los vectores \(a\), \(b\), \(c\), y \(d\) abarcan un paralelepípedo \(4\), entonces la linealidad del volumen se expresa diciendo que hay un conjunto de coeficientes \(\epsilon _{ijkl}\) tal que
\
Notarlo de esta manera sugiere que lo interpretemos como notación de índice abstracto, en cuyo caso la falta de índices en \N(V\) significa que no es sólo un invariante de Lorentz sino también un escalar.
Ejemplo \(\PageIndex{2}\): coordenadas de HaLFLing
Dejemos que \((t,x,y,z)\Nsean las coordenadas de Minkowski, y dejemos que \((t’,x’,y’,z’) = (2t,2x,2y,2z)\Nsea.) Consideremos cómo se ve afectado cada uno de los factores de nuestra ecuación de volumen cuando hacemos este cambio de coordenadas.
\N
Como nuestra convención es que \N(V\N) es un escalar, no cambia bajo un cambio de coordenadas. Esto nos obliga a decir que los componentes de cambian por un factor de \(1/16\) en este ejemplo.
El resultado del Ejemplo \(\PageIndex{2}\) nos dice que bajo nuestra convención de que el volumen es un escalar, los componentes de deben cambiar cuando cambiamos las coordenadas. Se podría argumentar que sería más lógico pensar en la transformación en este ejemplo como un cambio de unidades, en cuyo caso el valor de \(V\) sería diferente en las nuevas unidades; esta es una posible convención alternativa, pero tendría la desventaja de hacer imposible la lectura de las propiedades de transformación de un objeto desde el número y la posición de sus índices. Bajo nuestra convención, podemos leer las propiedades de transformación de esta manera. Aunque en la sección 7.4 sólo se han presentado estas propiedades en el caso de los tensores de rango \N(0\N) y \N(1\N), aplazando la descripción general de los tensores de mayor rango a la sección 9.2, las propiedades de transformación de \N(\Nepsilon\N) son, como implican sus cuatro subíndices, las de un tensor de rango \N(4\N). Diferentes autores utilizan diferentes convenciones con respecto a la definición de \(\epsilon\), que fue descrita originalmente por el matemático Levi-Civita.
Dado que según nuestra convención \(\epsilon\) es un tensor, nos referimos a él como el tensor de Levi-Civita. En otras convenciones, donde \(\epsilon\) no es un tensor, se puede referir a él como el símbolo de Levi-Civita. Como la notación no está estandarizada, de vez en cuando pondré un recordatorio junto a las ecuaciones importantes que contengan \(\epsilon\) indicando que se trata del tensor \(\epsilon\).
El tensor de Levi-Civita tiene muchísimos índices. Da miedo. Imagina la complejidad de esta bestia. (Sob.) Tenemos cuatro opciones para el primer índice, cuatro para el segundo, y así sucesivamente, de modo que el número total de componentes es \(256\). Espera, no busques el kleenex. El siguiente ejemplo muestra que esta complejidad es ilusoria.
Ejemplo \(\PageIndex{3}\): Volumen en coordenadas de Minkowski
Hemos establecido nuestras definiciones de manera que para el paralelepípedo \(\hat{t},\hat{x},\hat{y},\hat{z}), tenemos \(V = +1\). Por lo tanto
\2134>por definición, y porque \(4\)-volumen es invariante de Lorentz, esto se mantiene para cualquier conjunto de coordenadas de Minkowski.
Si intercambiamos \(x\) y \(y\) para hacer la lista \(\hat{t},\hat{y},\hat{x},\hat{z}), entonces como en la figura \(\PageIndex{5}\), el volumen se convierte en \(-1\), por lo que
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Supongamos que tomamos las aristas de nuestro paralelepípedo para ser \ (\hat{t},\hat{x},\hat{x},\hat{z}), con \ (y\) omitido y \ (x\) duplicado. Estos cuatro vectores no son linealmente independientes, por lo que nuestro paralelepípedo es degenerado y tiene un volumen nulo.
\2134>
A partir de estos ejemplos, vemos que una vez que cualquier elemento de ha sido fijado, todos los demás pueden ser determinados también. La regla es que al intercambiar dos índices cualesquiera se pierde el signo, y cualquier índice repetido hace que el resultado sea cero.
El ejemplo \(\PageIndex{3}\) muestra que el símbolo de fantasía \(\epsilon _{kl}\), que parece un jeroglífico maya secreto invocando \(256\) números diferentes, en realidad codifica sólo un número de información; cada componente del tensor es igual a este número, o menos este número, o cero. Supongamos que estamos trabajando en un conjunto de coordenadas, que puede no ser Minkowski, y queremos encontrar este número. Una forma complicada de encontrarlo sería utilizar la ley de transformación tensorial para un tensor rank-(4\) (sección 9.2). Una forma mucho más sencilla es hacer uso del determinante de la métrica, discutido en el ejemplo 6.2.1. Para una lista de coordenadas ijkl que se ordenan en el orden que definimos para ser una orientación positiva, el resultado es simplemente \(\epsilon _{ijkl} = \sqrt{izquierda | det\; g \right |}\). El signo de valor absoluto es necesario porque una métrica relativista tiene un determinante negativo.
Ejemplo \(\PageIndex{4}\): Coordenadas cartesianas y sus versiones halFLIng
Consideremos las coordenadas euclidianas en el plano, de modo que la métrica es una matriz \(2×2\), y \(\epsilon _{ij}\) sólo tiene dos índices. En coordenadas cartesianas estándar, la métrica es \(g = diag(1,1)\), que tiene \(det\; g = 1\). El tensor de Levi-Civita tiene, por tanto, \(\epsilon _{xy} = +1\]), y sus otras tres componentes se determinan de forma única a partir de ésta por las reglas comentadas en el ejemplo \(\PageIndex{3}\). (Podríamos haber flipado todos los signos si hubiéramos querido elegir la orientación opuesta para el plano). En forma matricial, estas reglas resultan en
\
Ahora transformamos a coordenadas \((x’,y’) = (2x,2y)\N.) En estas coordenadas, la métrica es \(g’ = diag(1/4,1/4)\), con \(det\; g = 1/16\), por lo que \(\epsilon _{x’y’} = 1/4\), o en forma matricial,
Ejemplo \(\PageIndex{5}\): Coordenadas polares
En coordenadas polares \((r,θ)\), la métrica es \(g = diag(1,r^2)\), que tiene determinante \(r^2\). El tensor de Levi-Civita es
\️(tomando la misma orientación que en el Ejemplo \(\PageIndex{4}\️)).
Ejemplo \️(\PageIndex{6}\️): Área de una circunferencia
Hallemos el área de la circunferencia unitaria. Su área (con signo) es
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donde el orden de \(dr\) y \(dθ\) se elige de forma que, con la orientación que hemos estado utilizando para el plano, el resultado sea positivo. Usando la definición del tensor de Levi-Civita, tenemos
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