Inverse Radon-Transformation Definition
Die Funktion iradon invertiert die Radon-Transformation und kann daher zur Rekonstruktion von Bildern verwendet werden.
Wie in Radon-Transformation beschrieben, kann bei einem Bild I und einem Satz von Winkeln theta die Funktion radon zur Berechnung der Radon-Transformation verwendet werden.
R = radon(I,theta);
Die Funktion iradon kann dann aufgerufen werden, um das Bild I aus Projektionsdaten zu rekonstruieren.
IR = iradon(R,theta);
Im obigen Beispiel werden Projektionen aus dem Originalbild I berechnet.
Es ist jedoch zu beachten, dass in den meisten Anwendungsbereichen kein Originalbild vorhanden ist, aus dem Projektionen gebildet werden. Die inverse Radon-Transformation wird zum Beispiel häufig in der Tomographie eingesetzt. In der Röntgenabsorptionstomographie werden Projektionen durch Messung der Abschwächung von Strahlung erstellt, die eine physikalische Probe unter verschiedenen Winkeln durchdringt. Das Originalbild kann man sich als Querschnitt durch die Probe vorstellen, wobei die Intensitätswerte die Dichte der Probe darstellen. Die Projektionen werden mit spezieller Hardware erfasst, und dann wird ein inneres Bild der Probe durch iradon rekonstruiert. Dies ermöglicht die nichtinvasive Abbildung des Inneren eines lebenden Körpers oder eines anderen undurchsichtigen Objekts.
iradon rekonstruiert ein Bild aus Parallelstrahlprojektionen. Bei der Parallelstrahlgeometrie wird jede Projektion durch die Kombination einer Reihe von Linienintegralen durch ein Bild in einem bestimmten Winkel gebildet.
Die folgende Abbildung veranschaulicht, wie die Parallelstrahlgeometrie in der Röntgenabsorptionstomographie angewendet wird. Man beachte, dass es eine gleiche Anzahl von n Emittern und n Sensoren gibt. Jeder Sensor misst die vom entsprechenden Strahler emittierte Strahlung, und die Abschwächung der Strahlung ergibt ein Maß für die integrierte Dichte bzw. Masse des Objekts. Dies entspricht dem Linienintegral, das in der Radon-Transformation berechnet wird.
Die in der Abbildung verwendete Parallelstrahlgeometrie ist die gleiche wie die in der Radon-Transformation beschriebene Geometrie. f(x,y) bezeichnet die Helligkeit des Bildes und Rθ(x′) ist die Projektion unter dem Winkel theta.
Parallelstrahl-Projektionen durch ein Objekt
Eine weitere häufig verwendete Geometrie ist die Fächerstrahlgeometrie, bei der es eine Quelle und n Sensoren gibt. Weitere Informationen finden Sie unter Fächerstrahlprojektion. Um Parallelstrahl-Projektionsdaten in Fächerstrahl-Projektionsdaten zu konvertieren, verwenden Sie die Funktion para2fan.
Verbesserung der Ergebnisse
iradonverwendet den Algorithmus der gefilterten Rückprojektion, um die inverse Radon-Transformation zu berechnen. Dieser Algorithmus bildet eine Annäherung an das Bild I auf der Grundlage der Projektionen in den Spalten von R. Ein genaueres Ergebnis kann durch die Verwendung von mehr Projektionen bei der Rekonstruktion erzielt werden. Mit zunehmender Anzahl der Projektionen (der Länge von theta) nähert sich das rekonstruierte Bild IR dem Originalbild I immer mehr an. Der Vektor theta muss monoton ansteigende Winkelwerte mit einem konstanten Inkrementalwinkel Dtheta enthalten. Wenn der Skalar Dtheta bekannt ist, kann er anstelle des Arrays der Theta-Werte an iradon übergeben werden. Hier ein Beispiel:
IR = iradon(R,Dtheta);
Der Algorithmus der gefilterten Rückprojektion filtert die Projektionen in R und rekonstruiert dann das Bild unter Verwendung der gefilterten Projektionen. In einigen Fällen kann Rauschen in den Projektionen vorhanden sein. Um hochfrequentes Rauschen zu entfernen, wenden Sie ein Fenster auf den Filter an, um das Rauschen abzuschwächen. Viele solcher gefensterten Filter sind in iradon verfügbar. Der folgende Beispielaufruf von iradon wendet ein Hamming-Fenster auf den Filter an. Weitere Informationen finden Sie auf der Referenzseite von iradon. Um ungefilterte Rückprojektionsdaten zu erhalten, geben Sie 'none' für den Filterparameter an.
IR = iradon(R,theta,'Hamming');
iradon ermöglicht auch die Angabe einer normalisierten Frequenz, D, oberhalb derer der Filter auf Null reagiert. D muss ein Skalar im Bereich sein. Mit dieser Option wird die Frequenzachse neu skaliert, so dass der gesamte Filter komprimiert wird und in den Frequenzbereich passt. Dies kann in Fällen nützlich sein, in denen die Projektionen wenig hochfrequente Informationen enthalten, aber hochfrequentes Rauschen vorhanden ist. In diesem Fall kann das Rauschen vollständig unterdrückt werden, ohne die Rekonstruktion zu beeinträchtigen. Der folgende Aufruf von iradon setzt einen normalisierten Frequenzwert von 0,85.
IR = iradon(R,theta,0.85);