Toleranzintervalle (Umschließungsintervalle) & Faktoren

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Was ist ein Toleranzintervall?

Toleranzintervalle (auch Umschließungsintervalle genannt) sind ähnlich wie Vorhersageintervalle, aber sie decken einen festen Anteil der Grundgesamtheit ab. Sie geben an, wo wir erwarten, dass ein bestimmter Bevölkerungsanteil liegt. Für ein bestimmtes Konfidenzintervall gibt es untere und obere Werte an, die einen bestimmten Anteil (oder Prozentsatz) enthalten.

Toleranzintervalle können zweiseitig (ein Bereich mit einem bestimmten Minimum und Maximum) oder einseitig (ein Bereich, bei dem eine Grenze entweder negativ unendlich oder positiv unendlich ist) sein.

Konfidenz-, Vorhersage- und Toleranzintervalle

Toleranzintervalle vs. Konfidenzintervalle.

Toleranzintervalle werden oft mit Konfidenzintervallen und Vorhersageintervallen verwechselt. Sie sind nicht dasselbe:

• Ein Konfidenzintervall enthält einen Parameter (wie einen Populationsmittelwert) mit einem bestimmten Konfidenzniveau. Mit anderen Worten, es gibt Auskunft über die wahrscheinliche Lage eines Populationsparameters. Beispielsweise kann man mit 95 %iger Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass die mittlere Batterielebensdauer zwischen 100 und 110 Stunden liegt. Das bedeutet, wenn Sie Ihr Experiment immer und immer wieder wiederholen, wird die mittlere Batterielebensdauer in 95 % der Fälle in diesen Bereich fallen.
• Ein Vorhersageintervall gibt an, wo ein Wert in der Zukunft wahrscheinlich liegen wird. Ein 95 %-Vorhersageintervall von 90 bis 120 Stunden für die mittlere Lebensdauer einer Batterie besagt zum Beispiel, dass die künftig produzierten Batterien in 95 % der Fälle in diesen Bereich fallen werden. Vorhersageintervalle sind in der Regel breiter als Konfidenzintervalle.
• Ein Toleranzintervall deckt einen bestimmten Anteil der Grundgesamtheit für ein bestimmtes Konfidenzniveau ab. Beispielsweise fallen Batterien in 75 % der Fälle in den Bereich von 90 bis 120 Stunden, mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 %.

Ein Toleranzintervall hat einen Mindestwert und einen Höchstwert. Diese Endpunkte werden als Toleranzgrenzen bezeichnet.

Berechnung von Toleranzintervallen

Toleranzintervalle müssen einen Mindestprozentsatz der Grundgesamtheit abdecken (z. B. „75 % der Grundgesamtheit“ oder „80 % der Grundgesamtheit“) und ein Konfidenzniveau (in der Regel wird dieses auf 95 % festgelegt). Normalerweise liegen beide Werte nahe bei 100 %. Das Konfidenzniveau gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Toleranzintervall tatsächlich den von Ihnen angegebenen Mindestprozentsatz abdeckt.

Die Formeln sind je nach Verteilungsform unterschiedlich und hängen von Mittelwert, Standardabweichung und Toleranzfaktoren ab. Die Toleranzfaktoren werden von Ihnen festgelegt. Nehmen wir zum Beispiel an, Sie hätten eine Normalverteilung und wollten untere (L) und obere (U) Toleranzgrenzen für eine Reihe von Messungen Yn…,YN finden. Die Intervalle würden wie folgt definiert werden:

1. YL=Ȳ-k2s;YU=Ȳ+k2s
2. YL=Ȳ-k1s
3. YU=Y&772;+k1s

Die Toleranzfaktoren „k“ werden so berechnet, dass das Intervall einen bestimmten Anteil der Grundgesamtheit mit dem angegebenen Vertrauensniveau abdeckt.

Die Ermittlung der Faktoren ist keine leichte Aufgabe und wird am besten von Software übernommen. Viele Statistikpakete verfügen über eingebaute Funktionen zur Berechnung von Toleranzintervallen. Zum Beispiel:

• Klicken Sie in Minitab auf Stat > Quality Tools > Tolerance Intervals. Dieser Test deckt nur normalverteilte Daten ab.
• In R ist eine Option das Paket „Toleranz“.

Wenn Sie die Faktorberechnung von Hand angehen möchten, finden Sie unter 10-1-1-498-1113 Toleranzfaktoren für Normalverteilungen. Brauchen Sie Hilfe bei den Berechnungen? Besuchen Sie unsere Nachhilfeseite!

Everitt, B. S.; Skrondal, A. (2010), The Cambridge Dictionary of Statistics, Cambridge University Press.
Kotz, S.; et al., eds. (2006), Encyclopedia of Statistical Sciences, Wiley.
Janiga, I. & Garaj, I. „One-sided tolerance factors of normal distributions with unknown mean and variability.“ MEASUREMENT SCIENCE REVIEW, Volume 6, Section 1, No. 2, 2006
Young, S. (2010), Book Reviews: „Statistical Tolerance Regions: Theory, Applications, and Computation“, TECHNOMETRICS, FEBRUARY 2010, VOL. 52, NO. 1, pp.143-144.

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