Eine chromatische Tonleiter in der westlichen Musik unterteilt eine Oktave in 12 Teile. Es gibt leicht unterschiedliche Wege, die Oktave in 12 Teile zu unterteilen, und die verschiedenen Ansätze haben eine lange und subtile Geschichte. In diesem Beitrag geht es um die Ursachen der Unterschiede.
Eine Oktave ist ein Verhältnis von 2 zu 1. Angenommen, eine Saite mit einer bestimmten Spannung und Länge erzeugt ein A, wenn sie gezupft wird. Wenn du die Saite doppelt so straff ziehst oder die gleiche Spannung beibehältst und die Saite halbierst, wird das A eine Oktave höher klingen. Der neue Ton lässt die Luft doppelt so oft pro Sekunde vibrieren.
Eine Quinte ist ein Verhältnis von 3 zu 2, so wie eine Oktave ein Verhältnis von 2 zu 1 ist. Wenn wir also mit einem A 440 beginnen (eine Tonhöhe, die mit 440 Hz, 440 Schwingungen pro Sekunde, schwingt), dann schwingt das E eine Quinte über dem A mit 660 Hz.
Wir können um Quinten nach oben und um Oktaven nach unten gehen, um jeden Ton der chromatischen Tonleiter zu erzeugen. Wenn wir zum Beispiel vom E 660 eine weitere Quinte nach oben gehen, erhalten wir ein B 990. Wenn wir dann eine Oktave nach unten zu B 495 gehen, haben wir das B eine Stufe über dem A 440. Das bedeutet, dass eine „Sekunde“, wie das Intervall von A zu B, ein Verhältnis von 9 zu 8 ist. Als Nächstes könnten wir das Fis erzeugen, indem wir von B aus eine Quinte nach oben gehen, usw. Diese Abfolge von Noten wird Quintenzirkel genannt.
Als Nächstes wählen wir einen anderen Ansatz. Jedes Mal, wenn wir in der chromatischen Tonleiter um einen Halbtonschritt nach oben gehen, erhöhen wir die Tonhöhe um ein Verhältnis r. Wenn wir dies 12 Mal tun, gehen wir eine Oktave nach oben, also muss r12 gleich 2 sein. Dies besagt, dass r die 12. Wurzel aus 2 ist. Wenn wir mit A 440 beginnen, muss die Tonhöhe n Halbtonschritte höher 2n/12 mal 440 sein.
Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten, eine Quinte zu erhöhen. Der erste Ansatz besagt, dass eine Quinte ein Verhältnis von 3 zu 2 ist. Da eine Quinte aus sieben Halbtonschritten besteht, besagt der zweite Ansatz, dass eine Quinte ein Verhältnis von 27/12 zu 1 ist. Wenn diese Werte gleich sind, dann haben wir bewiesen, dass 27/12 gleich 3/2 ist. Leider stimmt das nicht ganz, obwohl es eine gute Annäherung ist, denn 27/12 = 1,498. Das Verhältnis von 3/2 wird als „perfekte“ Quinte bezeichnet, um es vom Verhältnis 1,498 zu unterscheiden. Der Unterschied zwischen perfekten Quinten und gewöhnlichen Quinten ist gering, aber er vergrößert sich, wenn man perfekte Quinten verwendet, um jede Tonhöhe zu konstruieren.
Der Ansatz, jede Note über perfekte Quinten und Oktaven zu erzeugen, ist als pythagoreische Stimmung bekannt. Der Ansatz, der die 12. Wurzel aus 2 verwendet, wird als gleichschwebende Stimmung bezeichnet. Da 1,498 nicht dasselbe ist wie 1,5, ergeben die beiden Ansätze unterschiedliche Stimmungssysteme. Es gibt verschiedene Kompromisse, die versuchen, Aspekte beider Systeme zu erhalten. Jeder dieser Kompromisse führt zu einem anderen Stimmsystem. Und tatsächlich ist das pythagoräische Stimmsystem ein wenig komplizierter als oben beschrieben, weil es auch einige Kompromisse beinhaltet.
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