Umstellen:
Umstellen Sie die Gleichung, indem Sie das, was rechts vom Gleichheitszeichen steht, von beiden Seiten der Gleichung abziehen:
200/x-5-(200/2*x)=0
Schrittweise Lösung :
100 Simplify ——— 1
Gleichung am Ende von Schritt 1 :
200 (——— - 5) - (100 • x) = 0 x
Schritt 2 :
200 Simplify ——— x
Gleichung am Ende von Schritt 2 :
200 (——— - 5) - 100x = 0 x
Schritt 3 :
Umschreiben des Ganzen in einen äquivalenten Bruch :
3.1 Subtrahieren eines Ganzen von einem Bruch
Umschreiben des Ganzen als Bruch mit x als Nenner :
5 5 • x 5 = — = ————— 1 x
Äquivalenter Bruch : Der so entstandene Bruch sieht anders aus, hat aber den gleichen Wert wie das Ganze
Gemeinsamer Nenner : Der äquivalente Bruch und der andere Bruch, der an der Berechnung beteiligt ist, haben denselben Nenner
Addieren von Brüchen, die einen gemeinsamen Nenner haben :
3.2 Addieren der beiden gleichwertigen Brüche
Addiere die beiden gleichwertigen Brüche, die nun einen gemeinsamen Nenner haben
Kombiniere die Zähler, stelle die Summe oder die Differenz über den gemeinsamen Nenner und reduziere dann auf die kleinsten Terme, wenn möglich:
200 - (5 • x) 200 - 5x ————————————— = ———————— x x
Gleichung am Ende von Schritt 3 :
(200 - 5x) —————————— - 100x = 0 x
Schritt 4 :
Umschreiben des Ganzen als gleichwertigen Bruch :
4.1 Subtrahieren eines Ganzen von einem Bruch
Umschreiben des Ganzen als Bruch mit x im Nenner :
100x 100x • x 100x = ———— = ———————— 1 x
Schritt 5 :
Ausziehen gleicher Terme :
5.1 Herausziehen gleicher Faktoren :
200 – 5x = -5 – (x – 40)
Addieren von Brüchen, die einen gemeinsamen Nenner haben :
5.2 Addieren der beiden gleichwertigen Brüche
-5 • (x-40) - (100x • x) -100x2 - 5x + 200 ———————————————————————— = ————————————————— x x
Schritt 6 :
Ausziehen von gleichen Termen :
6.1 Herausziehen gleicher Faktoren :
-100×2 – 5x + 200 = -5 – (20×2 + x – 40)
Versuchen Sie zu faktorisieren, indem Sie den mittleren Term aufteilen
6.2 Faktorisierung von 20×2 + x – 40
Der erste Term ist 20×2, sein Koeffizient ist 20
Der mittlere Term ist +x, sein Koeffizient ist 1
Der letzte Term, „die Konstante“, ist -40
Schritt-1 : Multipliziere den Koeffizienten des ersten Terms mit der Konstante 20 – -40 = -800
Schritt-2 : Finde zwei Faktoren von -800, deren Summe gleich dem Koeffizienten des mittleren Terms ist, der 1 ist .
Der Ordnung halber wurde der Ausdruck von 12 Zeilen, in denen zwei solcher Faktoren nicht gefunden wurden, unterdrückt
Beobachtung : Es können keine zwei solcher Faktoren gefunden werden !!!
Schlussfolgerung : Trinom kann nicht faktorisiert werden
Gleichung am Ende von Schritt 6 :
-5 • (20x2 + x - 40) ———————————————————— = 0 x
Schritt 7 :
Wenn ein Bruch gleich Null ist :
7.1 When a fraction equals zero ...
Wenn ein Bruch gleich Null ist, muss sein Zähler, der Teil, der über dem Bruchstrich liegt, gleich Null sein.
Um nun den Nenner loszuwerden, multipliziert Tiger beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner.
So geht’s:
-5•(20x2+x-40) —————————————— • x = 0 • x x
Nun hebt auf der linken Seite das x den Nenner auf, während auf der rechten Seite Null mal irgendetwas immer noch Null ist.
Die Gleichung hat nun die Form :
-5 – (20×2+x-40) = 0
Gleichungen, die nie wahr sind :
7.2 Lösen : -5 = 0
Diese Gleichung hat keine Lösung.
Eine Konstante ungleich Null ist nie gleich Null.
Parabel, Finden des Scheitelpunktes :
7.3 Finde den Scheitelpunkt von y = 20×2+x-40
Parabeln haben einen höchsten oder einen tiefsten Punkt, den Scheitelpunkt. Unsere Parabel öffnet sich und hat dementsprechend einen tiefsten Punkt (AKA absolutes Minimum) . Das wissen wir schon vor dem Einzeichnen von „y“, denn der Koeffizient des ersten Terms, 20 , ist positiv (größer als Null).
Jede Parabel hat eine vertikale Symmetrielinie, die durch ihren Scheitelpunkt verläuft. Aufgrund dieser Symmetrie würde die Symmetrielinie zum Beispiel durch den Mittelpunkt der beiden x -Abschnitte (Wurzeln oder Lösungen) der Parabel gehen. Das heißt, wenn die Parabel tatsächlich zwei reelle Lösungen hat.
Parabeln können viele reale Situationen modellieren, wie z. B. die Höhe eines nach oben geworfenen Gegenstandes über dem Boden nach einer gewissen Zeit. Der Scheitelpunkt der Parabel kann uns Informationen liefern, wie z. B. die maximale Höhe, die ein nach oben geworfener Gegenstand erreichen kann. Aus diesem Grund wollen wir die Koordinaten des Scheitelpunkts bestimmen können.
Für jede Parabel,Ax2+Bx+C,ist die x -Koordinate des Scheitelpunkts durch -B/(2A) gegeben. In unserem Fall ist die x-Koordinate -0,0250
Wenn wir die Parabelformel -0,0250 für x einsetzen, können wir die y-Koordinate berechnen:
y = 20,0 * -0,03 * -0,03 + 1,0 * -0,03 – 40,0
oder y = -40,013
Parabel, Scheitelpunkt und X-Schnittpunkte grafisch darstellen :
Wurzeldarstellung für : y = 20×2+x-40
Symmetrieachse (gestrichelt) {x}={-0,03}
Wertex bei {x,y} = {-0.03,-40.01}
x -Abschnitte (Wurzeln) :
Wurzel 1 bei {x,y} = {-1.44, 0.00}
Wurzel 2 bei {x,y} = { 1.39, 0.00}
Quadratische Gleichung durch Vervollständigung des Quadrats lösen
7.4 Lösen von 20×2+x-40 = 0 durch Vervollständigung des Quadrats .
Beide Seiten der Gleichung durch 20 dividieren, um 1 als Koeffizient des ersten Terms zu haben :
x2+(1/20)x-2 = 0
Beide Seiten der Gleichung um 2 ergänzen :
x2+(1/20)x = 2
Jetzt kommt der clevere Teil: Man nehme den Koeffizienten von x , der 1/20 ist, teile durch zwei, was 1/40 ergibt, und quadriere ihn schließlich, was 1/1600 ergibt
Addiere 1/1600 zu beiden Seiten der Gleichung :
Auf der rechten Seite haben wir :
2 + 1/1600 oder (2/1)+(1/1600)
Der gemeinsame Nenner der beiden Brüche ist 1600 Addiert man (3200/1600)+(1/1600), erhält man 3201/1600
Addiert man also zu beiden Seiten, erhält man :
x2+(1/20)x+(1/1600) = 3201/1600
Das Hinzufügen von 1/1600 hat die linke Seite zu einem perfekten Quadrat vervollständigt :
x2+(1/20)x+(1/1600) =
(x+(1/40)) – (x+(1/40)) =
(x+(1/40))2
Dinge, die gleich sind, sind auch gleich zueinander. Da
x2+(1/20)x+(1/1600) = 3201/1600 und
x2+(1/20)x+(1/1600) = (x+(1/40))2
dann ist nach dem Transitivitätsgesetz,
(x+(1/40))2 = 3201/1600
Wir bezeichnen diese Gleichung als Gleichung. #7.4.1
Das Quadratwurzelprinzip besagt, dass, wenn zwei Dinge gleich sind, ihre Quadratwurzeln gleich sind.
Beachte, dass die Quadratwurzel von
(x+(1/40))2 gleich
(x+(1/40))2/2 =
(x+(1/40))1 =
x+(1/40)
Wenn man nun das Quadratwurzelprinzip auf Gl. #7.4.1 erhalten wir:
x+(1/40) = √ 3201/1600
Subtrahieren Sie 1/40 von beiden Seiten, um zu erhalten:
x = -1/40 + √ 3201/1600
Da eine Quadratwurzel zwei Werte hat, einen positiven und den anderen negativen
x2 + (1/20)x – 2 = 0
, hat sie zwei Lösungen:
x = -1/40 + √ 3201/1600
oder
x = -1/40 – √ 3201/1600
Beachte, dass √ 3201/1600 geschrieben werden kann als
√ 3201 / √ 1600, was √ 3201 / 40 ist
Löse die quadratische Gleichung mit der quadratischen Formel
7.5 Lösen von 20×2+x-40 = 0 mit der quadratischen Formel .
Nach der quadratischen Formel x ist die Lösung für Ax2+Bx+C = 0 , wobei A, B und C Zahlen sind, die oft Koeffizienten genannt werden, gegeben durch :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
In unserem Fall ist A = 20
B = 1
C = -40
Dementsprechend ist B2 – 4AC =
1 – (-3200) =
3201
Anwendung der quadratischen Formel :
-1 ± √ 3201
x = ——
40
√ 3201 , gerundet auf 4 Nachkommastellen, ist 56.5774
Also betrachten wir jetzt:
x = ( -1 ± 56.577 ) / 40
Zwei reale Lösungen:
x =(-1+√3201)/40= 1.389
oder:
x =(-1-√3201)/40=-1.439