Numerische Berechnung
Die Entwicklung neuer Methoden der numerischen Berechnung war eine Reaktion auf die gestiegenen praktischen Anforderungen an numerische Berechnungen, insbesondere in der Trigonometrie, Navigation und Astronomie. Die neuen Ideen verbreiteten sich schnell in Europa und führten bis 1630 zu einer großen Revolution in der numerischen Praxis.
Simon Stevin aus Holland führte in seiner kurzen Broschüre La Disme (1585) die Dezimalbrüche in Europa ein und zeigte, wie man die Prinzipien der hindu-arabischen Arithmetik auf die Berechnung mit diesen Zahlen ausweiten konnte. Stevin betonte die Nützlichkeit der Dezimalarithmetik „für alle Rechnungen, die in den Angelegenheiten der Menschen vorkommen“, und erläuterte in einem Anhang, wie sie in der Vermessung, Stereometrie, Astronomie und Messtechnik angewendet werden kann. Seine Idee war es, das Positionsprinzip zur Basis 10 auf Zahlen mit Bruchteilen auszudehnen, mit einer entsprechenden Erweiterung der Notation, um diese Fälle abzudecken. In seinem System wurde die Zahl 237,578 mit
bezeichnet, wobei die Ziffern links von der Null den ganzzahligen Teil der Zahl darstellen. Rechts von der Null stehen die Ziffern des Bruchteils, wobei jede Ziffer von einer eingekreisten Zahl gefolgt wird, die die negative Potenz angibt, auf die 10 erhöht wird. Stevin zeigte, wie die übliche Arithmetik ganzer Zahlen auf Dezimalbrüche ausgedehnt werden konnte, indem er Regeln benutzte, die die Position der negativen Potenzen von 10 festlegten.
Zusätzlich zu seinem praktischen Nutzen war La Disme bedeutsam für die Art und Weise, wie es den dominierenden Stil der klassischen griechischen Geometrie in der theoretischen Mathematik untergrub. Stevins Vorschlag erforderte eine Ablehnung der Unterscheidung in der euklidischen Geometrie zwischen der Größe, die kontinuierlich ist, und der Zahl, die eine Vielzahl von unteilbaren Einheiten ist. Für Euklid war die Einheit oder Eins eine besondere Art von Ding, nicht die Zahl, sondern der Ursprung oder das Prinzip der Zahl. Die Einführung von Dezimalbrüchen schien zu implizieren, dass die Einheit unterteilt werden konnte und dass beliebige kontinuierliche Größen numerisch dargestellt werden konnten; sie setzte implizit das Konzept einer allgemeinen positiven reellen Zahl voraus.
Tabellen von Logarithmen wurden erstmals 1614 von dem schottischen Gutsherrn John Napier in seiner Abhandlung Description of the Marvelous Canon of Logarithms veröffentlicht. Diesem Werk folgte (posthum) fünf Jahre später ein weiteres, in dem Napier die Grundsätze für die Konstruktion seiner Tabellen darlegte. Der Grundgedanke hinter den Logarithmen ist, dass Addition und Subtraktion einfacher durchzuführen sind als Multiplikation und Division, die, wie Napier feststellte, einen „mühsamen Zeitaufwand“ erfordern und „schlüpfrigen Fehlern“ ausgesetzt sind. Nach dem Gesetz der Exponenten ist anam = an + m, d. h. bei der Multiplikation von Zahlen werden die Exponenten additiv zueinander in Beziehung gesetzt. Indem man die geometrische Zahlenfolge a, a2, a3,… (a wird als Basis bezeichnet) mit der arithmetischen Folge 1, 2, 3,… in Beziehung setzt und auf Bruchwerte interpoliert, kann man das Problem der Multiplikation und Division auf das der Addition und Subtraktion reduzieren. Zu diesem Zweck wählte Napier eine Basis, die sehr nahe an 1 liegt und sich nur um 1/107 von ihr unterscheidet. Die sich daraus ergebende geometrische Sequenz lieferte daher eine dichte Reihe von Werten, die sich für die Konstruktion einer Tabelle eigneten.
In seiner Arbeit von 1619 stellte Napier ein interessantes kinematisches Modell vor, um die geometrischen und arithmetischen Sequenzen zu erzeugen, die er für die Konstruktion seiner Tabellen verwendete. Angenommen, zwei Teilchen bewegen sich von gegebenen Ausgangspunkten aus entlang getrennter Linien. Die Teilchen beginnen ihre Bewegung zum gleichen Zeitpunkt und mit der gleichen Geschwindigkeit. Das erste Teilchen setzt seine Bewegung mit einer abnehmenden Geschwindigkeit fort, die zu jedem Zeitpunkt proportional zum verbleibenden Abstand zwischen ihm und einem bestimmten festen Punkt auf der Linie ist. Das zweite Teilchen bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit, die seiner Anfangsgeschwindigkeit entspricht. Bei einem beliebigen Zeitschritt bilden die Entfernungen, die das erste Teilchen in aufeinanderfolgenden Schritten zurücklegt, eine geometrisch abnehmende Folge. Die entsprechenden Entfernungen, die das zweite Teilchen zurücklegt, bilden eine arithmetisch zunehmende Folge. Napier war in der Lage, dieses Modell zu verwenden, um Theoreme abzuleiten, die genaue Grenzen für die Annäherungswerte in den beiden Sequenzen lieferten.
Napiers kinematisches Modell zeigte, wie geschickt Mathematiker im frühen 17. Jahrhundert in der Analyse ungleichförmiger Bewegungen geworden waren. Kinematische Ideen, die in der Mathematik dieser Zeit häufig auftauchten, boten ein klares und anschauliches Mittel für die Erzeugung geometrischer Größen. Die Vorstellung einer Kurve, die von einem sich durch den Raum bewegenden Teilchen gezogen wird, spielte später eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Infinitesimalrechnung.
Napiers Ideen wurden von dem englischen Mathematiker Henry Briggs, dem ersten Savilian Professor für Geometrie in Oxford, aufgegriffen und überarbeitet. Im Jahr 1624 veröffentlichte Briggs eine umfangreiche Tabelle der gewöhnlichen Logarithmen, d. h. der Logarithmen zur Basis 10. Da die Basis nicht mehr in der Nähe von 1 lag, konnte die Tabelle nicht so einfach wie die von Napier ermittelt werden, und Briggs entwickelte daher Techniken zur Berechnung endlicher Differenzen, um die Berechnung der Einträge zu erleichtern. Er entwickelte auch rechenintensive Interpolationsverfahren, um Zwischenwerte zu erhalten.
In der Schweiz kam der Instrumentenbauer Joost Bürgi unabhängig von Napier auf die Idee der Logarithmen, obwohl er seine Ergebnisse erst 1620 veröffentlichte. Vier Jahre später erschien in Marburg eine von Kepler erstellte Logarithmentafel. Sowohl Bürgi als auch Kepler waren astronomische Beobachter, und Kepler nahm logarithmische Tabellen in seine berühmten Tabulae Rudolphinae (1627; „Rudolphinische Tabellen“) auf, astronomische Tabellen der Planetenbewegung, die auf der Annahme elliptischer Bahnen um die Sonne beruhen.