Weiterführend zum Thema 15-75-90-Dreiecke (siehe: Last time und First Time) sind in letzter Zeit einige interessante Varianten von 15-75-90 in einer Box aufgetaucht.
Beispiel für die Teilung eines Quadrats mit vier 15-75-90-Dreiecken:
Wie so oft ist die Bestimmung der relativen Fläche der Dreiecke und des Quadrats mit Hilfe der Trigonometrie einfach:
Lassen Sie s die Länge der Seiten des Quadrats sein:
Der Flächeninhalt jedes Dreiecks = \(\frac{1}{2} s^2 cos(15)sin(15) \) und unter Verwendung der Formeln für den doppelten Winkel
\(sin(30)=2sin(15)cos(15)\) Nach der Substitution und dem Wissen, dass sin(30) = \(\frac{1}{2}\) ist, ergibt sich die Fläche = \(\frac{1}{8}s^2\)
Aber warum ist das so? Wie üblich lauert hier ein 30-60-90-Dreieck, das eine euklidische Erklärung zulässt.
Was daran besonders interessant ist, ist der Hinweis, dass es Zerlegungen gibt, um ein 1/4 oder 1/8 des größeren Quadrats in die Dreiecke umzuwandeln, und natürlich schiebt man das 1/4-Dreieck ABO, bis es 2 15-75-90′ wird!
Aber kehren wir zum ursprünglichen Problem zurück. Es gibt eine andere einfache Erklärung für das, was passiert, die einfach die Verhältnisse des Dreiecks benutzt:
1. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ist \(\frac{1}{2}(2 – \sqrt{3})\)
2. Wenn man die Hypotenuse quadriert, erhält man \(4(2 – \sqrt{3})\), was dem 8-fachen Flächeninhalt des Dreiecks entspricht.
3. Oder anders ausgedrückt, jedes Dreieck ist 1/8 des Quadrats der Hypotenuse.
Und wir haben unser ursprüngliches Ergebnis wiedergefunden.
Weitere Fragen: Gibt es andere gewöhnliche Dreiecke, die das Quadrat in eine Einheit oder einen „einfachen“ Bruch teilen?
Ich überlasse es dem Leser zu entscheiden, welches Problem, das auf dieser Eigenschaft basiert, mehr Spaß macht (von @eylem und @sansu-seijin):
Gegeben das Quadrat der Länge 6cm, wie groß ist der schattierte Bereich?