Zusammenhang zwischen linearen und rotatorischen Größen
Die Beschreibung von Bewegung könnte manchmal mit Winkelgrößen wie Winkelgeschwindigkeit, Rotationsträgheit, Drehmoment usw. einfacher sein.
Lernziele
Die gleichförmige Kreisbewegung aus linearen Gleichungen ableiten
Key Takeaways
Key Points
- Wie wir Masse, linearen Impuls, translatorische kinetische Energie und das 2. Newtonsche Gesetz zur Beschreibung der linearen Bewegung verwenden, können wir eine allgemeine Rotationsbewegung mit entsprechenden Skalar-/Vektor-/Tensorgrößen beschreiben.
- Winkelgeschwindigkeit und lineare Geschwindigkeit haben die folgende Beziehung: \bf{\text{v} = \omega \mal \text{r}}.
- Wie wir die Bewegungsgleichung \text{F} = \text{ma} verwenden, um eine lineare Bewegung zu beschreiben, können wir ihr Gegenstück \bf{\tau} = \frac{\text{d}\bf{\text{L}}}{\text{dt}} = \bf{\text{r}} \mal \bf{\text{F}}, um die Winkelbewegung zu beschreiben. Die Beschreibungen sind gleichwertig, und die Wahl kann rein aus Gründen der Bequemlichkeit getroffen werden.
Schlüsselbegriffe
- gleichförmige Kreisbewegung: Bewegung auf einer Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit.
- Drehmoment: Eine Dreh- oder Torsionswirkung einer Kraft; (SI-Einheit Newton-Meter oder Nm; imperiale Einheit Foot-Pound oder ft-lb)
- Rotationsträgheit: Die Tendenz eines rotierenden Objekts, sich weiter zu drehen, wenn kein Drehmoment auf es ausgeübt wird.
Definition der Kreisbewegung
Die Beschreibung der Kreisbewegung lässt sich besser in Form von Winkelgrößen beschreiben als ihr lineares Gegenstück. Die Gründe dafür sind leicht zu verstehen. Betrachten wir zum Beispiel den Fall einer gleichförmigen Kreisbewegung. Hier ändert sich die Geschwindigkeit des Teilchens – obwohl die Bewegung „gleichförmig“ ist. Die beiden Begriffe passen nicht zusammen. Die allgemeine Konnotation des Begriffs „gleichförmig“ bedeutet „konstant“, aber die Geschwindigkeit ändert sich tatsächlich ständig.
Ein rotierender Körper: Jedes Teilchen, aus dem der Körper besteht, führt eine gleichförmige Kreisbewegung um die feste Achse aus. Zur Beschreibung der Bewegung sind Winkelgrößen die bessere Wahl.
Wenn wir die gleichförmige Kreisbewegung in Form der Winkelgeschwindigkeit beschreiben, gibt es keinen Widerspruch. Die Geschwindigkeit (d.h. die Winkelgeschwindigkeit) ist tatsächlich konstant. Dies ist der erste Vorteil der Beschreibung einer gleichförmigen Kreisbewegung durch die Winkelgeschwindigkeit.
Der zweite Vorteil besteht darin, dass die Winkelgeschwindigkeit den physikalischen Sinn der Rotation des Teilchens vermittelt, im Gegensatz zur linearen Geschwindigkeit, die eine translatorische Bewegung anzeigt. Alternativ betont die Winkelbeschreibung die Unterscheidung zwischen zwei Arten von Bewegung (Translations- und Rotationsbewegung).
Beziehung zwischen Linear- und Winkelgeschwindigkeit
Betrachten wir der Einfachheit halber eine gleichförmige Kreisbewegung. Für die Länge des Bogens, der den Winkel “ im Ursprung einschließt, und „r“ ist der Radius des Kreises, der die Position des Teilchens enthält, haben wir \text{s}=\text{r}\theta.
Differenziert man nach der Zeit, so ergibt sich
\frac{\text{ds}}{\text{dt}} = \frac{\text{dr}}{\text{dt}} \theta + \text{r}\frac{\text{d}\theta}{\text{dt}}.
Da \frac{\text{dr}}{\text{dt}} = 0 für eine gleichförmige Kreisbewegung, erhalten wir \text{v} = \omega \text{r}. In ähnlicher Weise erhalten wir auch \text{a} = \alpha \text{r}, wobei \text{a} für die lineare Beschleunigung steht, während sich \alpha auf die Winkelbeschleunigung bezieht (in einem allgemeineren Fall ist die Beziehung zwischen Winkel- und linearen Größen gegeben als \bf{\text{v} = \omega \times \text{r}}, ~~ \bf{\text{a} = \alpha \times \text{r} + \omega \times \text{v}}. )
Rotationskinematische Gleichungen
Mit der Beziehung der linearen und winkligen Geschwindigkeit/Beschleunigung können wir die folgenden vier rotationskinematischen Gleichungen für konstantes \text{a} und \alpha ableiten:
\omega =\omega 0+\alpha \text{t}: \text{v}=\text{v}0+\text{at}
\theta =\omega 0\text{t}+(1/2)\alpha \text{t}2: \text{x}=\text{v}0\text{t}+(1/2)\text{at}2
\omega 2=\omega 02+2: \text{v}2=\text{v}02+2\text{ax}
Masse, Impuls, Energie und Newtons zweites Gesetz
Wie wir Masse, linearen Impuls, translatorische kinetische Energie und Newtons zweites Gesetz zur Beschreibung der linearen Bewegung verwenden, können wir eine allgemeine Rotationsbewegung mit entsprechenden Skalar-/Vektor-/Tensorgrößen beschreiben:
- Masse/ Rotationsträgheit:
- Linien-/Drehimpuls:
- Kraft/Drehmoment:
- Kinetische Energie:
Wie wir zum Beispiel die Bewegungsgleichung \text{F} = \text{ma} verwenden, um eine lineare Bewegung zu beschreiben, können wir ihr Gegenstück \bf{\tau} = \frac{\text{d}\bf{\text{L}}}{\text{dt}} = \bf{\text{r}} \mal \bf{\text{F}}, um eine Winkelbewegung zu beschreiben. Die Beschreibungen sind äquivalent, und die Wahl kann rein aus Gründen der Benutzerfreundlichkeit getroffen werden.