Zahlenübertragung in verschiedenen Zahlensystemen
Zahlensystem ist eine Sammlung von Symbolen (Ziffern) und die Regeln ihrer Verwendung für die Darstellung von Zahlen. Es gibt zwei Arten von Ziffernsystemen. Nicht positionelles System – einige Buchstaben werden als Ziffern verwendet. Positionssystem – der quantitative Wert der Ziffern hängt von ihrem Platz in der Eingangszahl ab. Die Position der Zahl wird als Entlastung bezeichnet. Die Rangnummer nimmt von rechts nach links zu. Die Anzahl der verschiedenen Ziffern (Zeichen), die im positionellen Zahlensystem zur Darstellung (Aufzeichnung) der Zahl verwendet werden, wird als Basis bezeichnet.
Das homogene System – für jede Kategorie der Menge der zulässigen Symbole (Ziffern) ist die gleiche. Als Beispiel verwenden wir das Dezimalsystem. Wenn die Zahl in der homogenen des 10. Systems zu schreiben, ist es möglich, in jeder Entlastung nur eine Ziffer im Bereich von 0 bis 9 zu verwenden, so dass die zulässige Anzahl von 450 (Klasse 1 – 0, 2 – 5, 3 – 4), und 4F5 – nicht, wie der Buchstabe F ist nicht in einer Reihe von Ziffern von 0 bis 9 enthalten.
Warum sollten Zahlen von einem System in ein anderes übertragen werden?
Bei der Durchführung von Aufgaben auf dem Computer werden die Einführung der Ausgangsdaten und die Ausgabe der Ergebnisse der Berechnungen in der Regel vom Benutzer in der dafür üblichen Dezimalschreibweise durchgeführt. Da jedoch die überwiegende Mehrheit der Computer ein binäres Zahlensystem verwendet, ergibt sich die Notwendigkeit, Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes zu übertragen. Die Übertragung von Zahlen von q-eins in das Dezimalsystem ergibt sich direkt aus dem Polynomausdruck einer bestimmten Zahl.
Das Wesen dieser Übertragung ist eine fortlaufende Dezimalzahl und ihre jeweilige Division durch den Radixwert des Systems q. Die Division wird so lange durchgeführt, bis der nächste Quotient nicht kleiner ist als die Basis q. Der berechnete Rest beim letzten Schritt ist die älteste (erste) Ziffer der übertragenen Zahl. Das Ergebnis einer solchen Übertragung der Zahl im Zahlensystem q-eins ist eine Aufzeichnung des letzten Quotienten und aller Residuen in umgekehrter Reihenfolge.
Dezimalzahlensystem
Das Dezimalzahlensystem ist das Ziffernalphabet, das aus zehn bekannten Zahlen besteht, und eine Basis von 10. Die Position der Ziffern in der Zahl wird Entlastung genannt. Der Rang der Zahl nimmt von rechts nach links zu, von den unteren zu den oberen Rängen. Im Dezimalsystem stellt die Ziffer in der äußersten rechten Position (Rang) die Anzahl der Einheiten dar; die um eine Position nach links verschobenen Ziffern – die Anzahl der Zehner, weiter links – Hunderter, Tausender, und so weiter. Dementsprechend haben wir die Kategorie der Einheiten, Zehnerrang, und so weiter.
Kann die Menge der positionellen Zahlensystemen verwendet werden, wo die Basis gleich oder größer als 2 ist. Um Zahlen aus dem Dezimalsystem in binäre Zahlensystem umzuwandeln, verwenden Sie die so genannte „Ersatz-Algorithmus“, bestehend aus den folgenden Sequenzen:
- Division der Dezimalzahl A durch 2. Der Quotient Q wird für den nächsten Schritt gespeichert, und der Rest wird als das niederwertigste Bit einer Binärzahl geschrieben.
- Wenn der Quotient Q ungleich 0 ist, nehmen Sie ihn als neuen Dividenden und wiederholen Sie den in Schritt 1 beschriebenen Vorgang. Jeder neue Rest (0 oder 1) wird in Bits der Binärzahl in der Richtung vom LSB (niedrigstwertiges Bit) zum ältesten geschrieben.
- Der Algorithmus wird fortgesetzt, bis man ein privates Q = 0 und den Rest a = 1 erhält, der sich aus den Schritten 1 und 2 ergibt.
Binärzahlensystem
Das Binärzahlensystem wird heute in praktisch allen digitalen Geräten verwendet. Computer, Steuerungen und andere Datenverarbeitungsgeräte führen Berechnungen genau im Binärsystem durch. Digitale Geräte zur Aufnahme und Wiedergabe von Audio, Foto und Video speichern und verarbeiten die Signale in binärer Notation. Die Übertragung von Informationen über digitale Kommunikationskanäle verwendet ein Modell des Binärsystems. Das System wird so genannt, weil sein Radix zwei (2) oder im Binärsystem 102 ist – das bedeutet, dass nur zwei Ziffern „0“ und „1“ für das Zahlenbild verwendet werden.
Die unten rechts von der Zahl aufgeschriebene Zwei wird im Folgenden als das Radix bezeichnet. Für das Dezimalsystem wird das Radix normalerweise nicht angegeben. Um eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss diese Zahl als Summe der Potenzen des Binärsystems zu den entsprechenden Ziffern in den Rängen der Binärzahl geschrieben werden.
Hexadezimales Zahlensystem
Das hexadezimale Zahlensystem ist das beliebteste Mittel zur Aufzeichnung kompakter Binärziffern. Es wird häufig bei der Entwicklung von Digitaltechnik verwendet. Wie der Name schon sagt, ist die Radix dieses Systems die Zahl 16 oder 1016 in der hexadezimalen Schreibweise. Damit es kein Durcheinander gibt, wenn man Zahlen in anderen Stellenwertsystemen als dem Dezimalsystem schreibt, muss rechts unten von den Haupteingangszahlen die Radix angegeben werden.
Die ersten zehn Zahlen werden aus dem Dezimalsystem übernommen (0, 1, …, 8, 9) und mit sechs Buchstaben (a, b, c, d, e und f) ergänzt. Bei der Hexadezimalzahl 3f7c2 sind die Buchstaben „f“ und „c“ Hexadezimalziffern. Am Ende der Hexadezimalzahl kann der Buchstabe h angenommen werden. So ist es möglich, die Hexadezimalzahlen von anderen Zahlensystemen zu unterscheiden.