7.6: Volumen, Orientierung und der Levi-Civita-Tensor

Orientierung

Wie in Abbildung \(\PageIndex{5}\) gezeigt, erfordert die Linearität der Fläche, dass einigen Flächen negative Werte zugewiesen werden. Vergleicht man die Flächen \(+1\) und \(-1\), so stellt man fest, dass der einzige Unterschied in der Ausrichtung bzw. Händigkeit besteht. In dem Fall, in dem wir die Fläche \(+1\) willkürlich zugewiesen haben, liegt der Vektor b gegen den Uhrzeigersinn von Vektor a, aber wenn a flipped ist, wird die relative Ausrichtung im Uhrzeigersinn.

Wenn Sie das übliche Physikstudium absolviert haben, dann haben Sie gesehen, dass dieses Problem auf eine bestimmte Art und Weise behandelt wird, nämlich so, dass man eine dritte Dimension annimmt und die Fläche als das Vektor-Kreuzprodukt \(a×b\) definiert, das senkrecht zu der von \(a\) und \(b\) bewohnten Ebene steht. Das Problem bei diesem Ansatz ist, dass er nur in drei Dimensionen funktioniert. In vier Dimensionen, nehmen wir an, dass a entlang der \(x\)-Achse und \(b\) entlang der \(t\)-Achse liegt. Wenn wir dann \(a×b\) definieren würden, müsste es in einer Richtung liegen, die senkrecht zu diesen beiden Achsen verläuft, aber es gibt mehr als eine solche Richtung. Wir könnten eine beliebige Richtung in der \(y-z\)-Ebene wählen.

Um mit diesem Thema in m Dimensionen zu beginnen, wo \(m\) nicht unbedingt gleich \(3\) ist, können wir das \(m\)-Volumen des \(m\)-dimensionalen Parallelepipeds betrachten, das von \(m\)-Vektoren aufgespannt wird. Nehmen wir zum Beispiel an, dass unsere \(m\)-Vektoren in der \(4\)-dimensionalen Raumzeit die Einheitsvektoren sind, die entlang der vier Achsen der Minkowski-Koordinaten liegen, \(\hat{t},\hat{x},\hat{y}\; \text{und}\; \hat{z}\). Aus Erfahrung mit dem Vektor-Kreuzprodukt, das antikommutativ ist, erwarten wir, dass das Vorzeichen des Ergebnisses von der Reihenfolge der Vektoren abhängt, also nehmen wir sie in dieser Reihenfolge. Offensichtlich gibt es nur zwei vernünftige Werte, die wir uns für dieses Volumen vorstellen können: \(+1\) oder \(-1\). Die Wahl ist willkürlich, also treffen wir eine willkürliche Wahl. Sagen wir, dass es \(+1\) für diese Ordnung ist. Dies läuft darauf hinaus, eine Orientierung für die Raumzeit zu wählen.

Eine verborgene und nicht triviale Annahme war, dass, sobald wir diese Wahl an einem Punkt der Raumzeit getroffen haben, sie auf andere Regionen der Raumzeit in konsistenter Weise übertragen werden kann. Dies muss nicht der Fall sein, wie die Abbildung \(\PageIndex{6}\) zeigt.

Unser Thema ist aber im Moment die spezielle Relativitätstheorie, und wie in Abschnitt 2.4 briefly besprochen, wird in der speziellen Relativitätstheorie üblicherweise angenommen, dass die Raumzeit topologisch trivial ist, so dass sich dieses Problem nur in der allgemeinen Relativitätstheorie stellt, und auch nur in Raumzeiten, die wahrscheinlich keine realistischen Modelle unseres Universums sind.

Da das \(4\)-Volumen invariant unter Rotationen und Lorentz-Transformationen ist, reicht unsere Wahl einer Orientierung aus, um eine Definition des \(4\)-Volumens festzulegen, die eine Lorentz-Invariante ist. Wenn die Vektoren \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) ein \(4\)-Parallelepiped aufspannen, dann wird die Linearität des Volumens dadurch ausgedrückt, dass es eine Menge von Koeffizienten \(\epsilon _{ijkl}\) gibt, die so beschaffen sind, dass

\

Diese Schreibweise legt nahe, dass wir sie als abstrakte Indexnotation interpretieren, In diesem Fall bedeutet das Fehlen von Indizes auf \(V\), dass es sich nicht nur um eine Lorentz-Invariante, sondern auch um einen Skalar handelt.

Das Ergebnis von Beispiel \(\PageIndex{2}\) sagt uns, dass nach unserer Konvention, dass das Volumen ein Skalar ist, sich die Komponenten von ändern müssen, wenn wir die Koordinaten ändern. Man könnte argumentieren, dass es logischer wäre, die Transformation in diesem Beispiel als eine Änderung der Einheiten zu betrachten, in diesem Fall würde der Wert von \(V\) in den neuen Einheiten anders sein; dies ist eine mögliche alternative Konvention, aber sie hätte den Nachteil, dass es unmöglich wäre, die Transformationseigenschaften eines Objekts aus der Anzahl und Position seiner Indizes abzulesen. Nach unserer Konvention können wir die Transformationseigenschaften auf diese Weise ablesen. Obwohl in Abschnitt 7.4 diese Eigenschaften nur für Tensoren des Rangs \(0\) und \(1\) vorgestellt wurden und die allgemeine Beschreibung von Tensoren höheren Rangs auf Abschnitt 9.2 verschoben wurde, sind die Transformationseigenschaften von \(\epsilon\), wie durch seine vier Indizes impliziert, die eines Tensors des Rangs \(4\). Verschiedene Autoren verwenden unterschiedliche Konventionen bezüglich der Definition von \(\epsilon\), die ursprünglich von dem Mathematiker Levi-Civita beschrieben wurde.

Da \(\epsilon\) nach unserer Konvention ein Tensor ist, bezeichnen wir ihn als Levi-Civita-Tensor. In anderen Konventionen, in denen \(\epsilon\) kein Tensor ist, kann er als Levi-Civita-Symbol bezeichnet werden. Da die Notation nicht standardisiert ist, werde ich gelegentlich neben wichtigen Gleichungen, die \(\epsilon\) enthalten, einen Hinweis anbringen, der besagt, dass es sich um den Tensor \(\epsilon\) handelt.

Der Levi-Civita-Tensor hat viele, viele Indizes. Gruselig! Man stelle sich die Komplexität dieses Ungetüms vor. (Schluchz.) Wir haben vier Möglichkeiten für den ersten Index, vier für den zweiten und so weiter, so dass die Gesamtzahl der Komponenten \(256\) beträgt. Warten Sie, greifen Sie nicht nach dem Kleenex. Das folgende Beispiel zeigt, dass diese Komplexität illusorisch ist.

Das Beispiel \(\PageIndex{3}\) zeigt, dass das ausgefallene Symbol \(\epsilon _{ijkl}\), das wie eine geheime Maya-Hieroglyphe aussieht, die \(256\) verschiedene Zahlen aufruft, in Wirklichkeit nur den Informationswert einer Zahl kodiert; jede Komponente des Tensors ist entweder gleich dieser Zahl, oder minus dieser Zahl, oder Null. Angenommen, wir arbeiten in einem Koordinatensystem, das nicht unbedingt Minkowski ist, und wollen diese Zahl finden. Ein komplizierter Weg, sie zu finden, wäre die Anwendung des Tensortransformationsgesetzes für einen Rang-\(4\)-Tensor (Abschnitt 9.2). Eine viel einfachere Methode ist die Verwendung der Determinante der Metrik, die in Beispiel 6.2.1 behandelt wird. Für eine Liste von Koordinaten ijkl, die in der Reihenfolge angeordnet sind, die wir als positive Orientierung definieren, ist das Ergebnis einfach \(\epsilon _{ijkl} = \sqrt{\links | det\; g \rechts |}\). Das Vorzeichen des Absolutwerts ist notwendig, weil eine relativistische Metrik eine negative Determinante hat.