Modely a strategie pro sčítání a odčítání dvouciferných čísel

Druhá třída je velmi důležitým ročníkem, ve kterém si žáci osvojují plynulé sčítání a odčítání dvouciferných čísel. Je to rok, kdy pracujeme s množstvím strategií sčítání a odčítání, které mohou žáci používat při řešení problémů. Strávíme mnoho času diskusemi o různých strategiích, používáme mnoho různých modelů a provádíme mentální matematiku.

Proč? Abychom rozvíjeli flexibilitu žáků při řešení matematických úloh.

Standard společného základu pro dvouciferné sčítání &odčítání je:

CCSS.MATH.CONTENT.2.NBT.B.5
Plynulé sčítání a odčítání do 100 s využitím strategií založených na hodnotě místa, vlastnostech operací a/nebo vztahu mezi sčítáním a odčítáním.

A standard pro trojciferné sčítání a odčítání, abychom ukázali, kam směřujeme:

CCSS.MATH.CONTENT.2.NBT.B.7
Sčítání a odčítání do 1000 pomocí konkrétních modelů nebo nákresů a strategií založených na hodnotě místa, vlastnostech operací a/nebo vztahu mezi sčítáním a odčítáním; propojení strategie s písemnou metodou. Chápat, že při sčítání nebo odčítání trojciferných čísel se sčítají nebo odčítají stovky a stovky, desítky a desítky, jedničky a jedničky; a někdy je nutné desítky nebo stovky skládat nebo rozkládat.

Nikde v těchto dvou standardech se nepíše nic o standardním algoritmu, který jsme se všichni učili ve škole (nejspíše jazykem „přenášet“ a „půjčovat“), a standardní algoritmus není přímo řešen ani ve standardech společného základu pro druhý stupeň. Přečtěte si až do konce a dozvíte se, jak se standardním algoritmem zabývám v naší třídě.

Máte zájem o bezplatnou ochutnávku některých mých produktů pro sčítání a odčítání dvouciferných čísel?

Strategie vs. modely

Pokud znáte mé slovní úlohy na sčítání & odčítání, možná jste si všimli, že dělám velký rozdíl mezi strategiemi používanými při řešení úloh a modely, které studenti s těmito strategiemi používají.

Strategie obvykle představují způsob, jakým studenti přistupují k číslům a jak s nimi manipulují. Modely jsou způsob, jakým jsou strategie uspořádány na papíře, aby žáci mohli strategii vysvětlit nebo vidět.

Při pohledu na výše uvedené standardy vidím, že strategie jsou ve standardu jasně vyznačeny:

V 2.NBT.B.5 a strategie jsou:

• místní hodnota
• vlastnosti operací
• vztah mezi sčítáním a odčítáním

Standard 2.NBT.B.7 dokonce upozorňuje, že modely nebo nákresy (které také nazývám modely) jsou odděleny od strategií, které jsou založeny na:

• místní hodnotě
• vlastnostech operací
• vztahu mezi sčítáním a odčítáním

Jak vidíte, strategie jsou ve standardech jasně vymezeny. Nyní v rámci každé z výše uvedených obecných kategorií strategií existuje skutečně mnoho různých strategií, které mohou žáci používat, a vy si je můžete ve své třídě označit, jak chcete. Já je rád označuji jmény studentů, aby se na ně dalo snadno odkazovat. Tak se můžeme při řešení problému odkázat na strategii Samanthy. Nebo můžete strategii označit činností, kterou student v problému provádí (například: Nejdříve sečti desítky).

Stále však rozlišuji mezi strategií a modelem. Proč? Protože studenti mohou s jedním modelem použít více strategií. Neexistuje jediný správný způsob použití modelu, pokud student dokáže vysvětlit své myšlení. Modely (nebo nákresy) pouze poskytují studentům nástroj k vysvětlení jejich myšlení na papíře nebo pomocí manipulativních pomůcek. Myšlení, neboli to, co žáci s čísly dělají, je strategie. To, co používají k tomu, aby vám to ukázali, je model.

Popravdě řečeno, nejsem vždy důsledný v označování něčeho za strategii nebo model. Snažím se o to, ale stejně jako vy jsem člověk a někdy je zaměňuji, zejména když jsem se studenty v daném okamžiku. Je to proces učení a něco, nad čím se v průběhu let neustále zamýšlím. Tím vším chci říct, že možná uvidíte několik věcí označených jedním způsobem a zpochybníte jeho označení. Klidně ho zpochybňujte, přemýšlejte o něm, promýšlejte ho a zjišťujte, zda je přesné, nebo ne. To vše je pro mnohé z nás stále nové.

Tady je několik kotevních diagramů, které jsem použil v posledních několika letech a které ilustrují některé z níže uvedených modelů a strategií.

Modely pro dvouciferné sčítání

Níže uvádíme několik modelů, které používáme při dvouciferném sčítání nebo odčítání. Jsou to jediné modely, které můžete použít? Ne, nejedná se o vyčerpávající seznam. Jsou to ty, které jsem shledal užitečnými ve třídě, aby je žáci procvičovali a používali k budování konceptuálního porozumění a smyslu pro čísla.

Číselné čáry pro dvouciferné sčítání a odčítání

Obvykle začínám s číselnými čarami, když žáky seznamuji s modely papír/tužka. Otevřená číselná řada je velmi flexibilní. Studenti mohou dělat skoky po jedné nebo po deseti (nebo více) a snadno s ní manipulovat, aby ukázali své matematické myšlení.

Při použití číselné čáry obvykle pomáhám studentům dostat se k nejbližší desítce nebo k přátelskému či srovnávacímu číslu, protože je snazší dělat skoky po deseti. To je příklad rozdílu mezi modelem a strategií. Modelem je číselná čára. Strategií je provádění skoků po 10.

Výuka používání číselné čáry při sčítání faktů +9 a +8 upevňuje tuto strategii, když žáci sčítají větší dvouciferná čísla.

Pamatujte, že číselná čára je model a lze ji používat s různými strategiemi. Modelování a procvičování používání číselné řady u jednodušších úloh pomůže studentům při používání číselné řady u obtížnějších úloh.

Jednou z každodenních aktivit, které s číselnou řadou provádíme, je naše Denní matematika. Jedná se o list na tabuli, který denně procházíme. Číselná řada v dolní části pomáhá žákům upevnit pochopení jak používání číselné řady, tak i toho, jak „udělat 100 nebo 1000“.

Tady je několik dalších příkladů, jak používáme číselné řady ve třídě.

Toto je z mé roličky & Spin Math Stations. V této aktivitě si žáci procvičují skoky o 10 a 100 nahoru po číselné řadě.

Existují také verze, kde žáci odečítají 10 a 100 také po číselné řadě. Jednou z dovedností, kterou žáci potřebují k tomu, aby byli úspěšní na číselných řadách, je schopnost provádět skoky o 10 a 100.

Toto je příklad z jedné z našich slovních úloh na sčítání & odčítání, kde studenti museli vyřešit samostatnou počáteční neznámou. Tento žák začínal na 15 a napočítal 35 skoků a na konci jeden odečetl. Toto je také skvělý příklad kompenzace (viz níže), protože student přidal jedničku k číslu 34, aby měl snazší skoky, a pak ji na konci odebral.

Toto je z mých matematických aktivit pro druhou třídu Cut & Paste. V této aktivitě si žáci procvičují, jak sčítat, začínají u nejmenšího čísla a vymýšlejí, kdo tot dostane k většímu číslu tím, že přeskočí ke spřáteleným číslům. Tento žák začal u čísla 19, přeskočil na číslo 20, pak udělal skoky po 10 na číslo 60 a udělal skok po 3. Žák sečetl své skoky a dostal číslo 44.

Výše je uvedeno několik příkladů z mých matematických stanovišť pro dvouciferné sčítání. Moji žáci potřebovali více přímého procvičování číselných řad a skákání, a to i přes veškerý nácvik v celé skupině. Dala jsem jim tedy pokyny a žáci se jimi řídili na číselných řadách.

Novějším zdrojem, který jsem vytvořila, abych pomohla žákům rozvíjet plynulost v počtech, je materiál Make 100 and Make 1000. Tento zdroj obsahuje MNOHO aktivit, při kterých si žáci procvičují tvorbu 100 a 1000. Jednou z aktivit jsou číselné čáry.

Mám také celý příspěvek na blogu o tom, jak používat číselnou řadu, s ještě více příklady, jak rozvíjet plynulost práce s číselnou řadou ve třídě.

Kvádry základu 10

Kvádry základu 10 jsou dalším modelem, který učím studenty používat; většinou však učím studenty, aby si kvádry základu 10 nakreslili. V hodinách používáme skutečné pěnové bloky, ale snažím se od nich co nejrychleji odejít.

Proč? Studenti budou mít vždy k dispozici tužku a papír k řešení problémů, ale ne vždy budou mít k dispozici manipulátor. Používání bloků se základem 10 také zabere hodně času. Nevadí mi věnovat jim čas pro studenty, kteří je potřebují, ale také chci studenty tlačit k efektivnějším pomůckám.

Tady je několik příkladů, jak bloky base-10 používáme:

Výše uvedení dva používají bloky základu 10 vytažením desítek jako „tyčinek“, jak jim říkáme v naší třídě. Tito konkrétní žáci měli potíže s počítáním přes 100 po desítkách, takže jsem je nechala kreslit jednotlivá čísla po desítkách, pak počítat po desítkách, dokud se nedostali na 100, a pak začít znovu počítat po desítkách. Nejenže jim to pomohlo sečíst čísla nad 100, ale také jim to přineslo více výdajů s naší číselnou soustavou o základu 10.

Výše uvedený příklad je opět z mých matematických stanovišť pro dvouciferné sčítání a jedná se pouze o základní úlohu – přiřazování odpovědí s reprezentací bloků o základu 10.

Příspěvek na blogu Number Line obsahuje také zajímavou vizuální aktivitu, která žákům pomůže přejít z bloků o základu 10 na číselné řady.

Strategie pro dvouciferné sčítání

Jak bylo uvedeno výše, hlavní tři strategie uvedené ve standardech jsou:

• hodnota místa
• vlastnosti operací
• vztah mezi sčítáním a odčítáním

Níže uvádíme několik strategií, které používáme při řešení úloh na dvouciferné sčítání. Většina z nich je založena na strategiích určování hodnoty místa, protože se mi zdá, že ty bývají pro žáky snáze pochopitelné a použitelné. Opět jde o to, jak žáci manipulují s čísly v úloze, aby ji snáze vyřešili.

Žádná strategie není „správná“ pro každého žáka a pro každou úlohu. Některé problémy se hodí k určitým strategiím kvůli číslům. Studenti mohou také měnit strategie v rámci téhož problému v závislosti na tom, jak manipulují s čísly. Klíčovou věcí, kterou je třeba sledovat, je, zda student dokáže vysvětlit své myšlení při řešení problému.

Rozdělení nebo rozdělení do skupin (Place Value)

Tato strategie vyžaduje trochu více mentálního matematického cvičení, ale může být tak účinná. Základní myšlenka spočívá v tom, že se číslo rozdělí na desítky a jedničky a pak, buď pomocí číselné řady, bloků základu 10, nebo jen čísel, žáci manipulují s jednotlivými částmi, aby čísla sečetli nebo odečetli.

Rozdělení části čísla nebo jeho seskupení pomáhá žákům vidět hodnotu místa. Desítkové místo není jen 4. Jeho hodnota je 40 nebo 4 desítky.

Jedním ze zdrojů, který pomáhá rozvíjet tuto strategii, je kniha Number Talks (partnerský odkaz). Rozhovory o číslech vedeme v průběhu celého roku, začínáme se sčítacími fakty a ke konci roku přecházíme na dvouciferné sčítání a odčítání. Ráda sleduji, jaké strategie dokážou moji žáci vymyslet! Kniha Rozhovory o číslech je také skvělou knihou, která pomáhá rozvíjet dovednosti naslouchání.

Přemýšlejte o úloze 64-47. V této knize se dozvíte, jak na to. Studenti rozdělí úlohu na 50+14-7-40 a odebírají části podle hodnoty místa. Začal bych asi od 14-7, ale žáci mohou začít kdekoli, kde jim to dává smysl.

Výše uvedené příklady pocházejí z mých matematických stanovišť pro dvouciferné sčítání a ilustrují, jak mohou žáci rozkládat čísla a sčítat jednotlivé hodnoty místa. Rozdělování se také nazývá rozdělování do skupin nebo rozkládání, v závislosti na matematickém programu, který používáte.

Všimli jste si, že v jedné z výše uvedených úloh žák sečetl 60 +40 a dostal 106, přesto napsal správnou odpověď na úlohu? Co myslíte, že se s tímto studentem dělo? Neuměl tedy sečíst 60+40, udělal hloupou chybu, nebo má jiný důvod, proč napsal 106? Když uvidíte interakci žáků s těmito typy strategií, budete mít prostor začít s nimi rozhovory o jejich matematickém myšlení.

Ještě jeden příklad z některých karet s úlohami na sčítání, kde žáci pouze rozdělují druhé číslo a pak dělají skoky 10 a 1 pomocí tabulek 100 a 1000. Přestože v první třídě dáváme dostatek příležitostí k procvičování pomocí tabulky 100s, zjišťuji, že žáci nemusí nutně přenášet své poznatky na větší čísla ve druhé třídě.

Sčítání desítek k desítkám a jedniček k jedničkám (Place Value)

Tento postup je velmi podobný strategiím pro zlomové části, jen bez rozdělování čísel. Žáci mohou části čísla (desítky nebo jedničky) sčítat mentálně, protože znají fakta o sčítání. V podstatě používáme v-model, kterým kreslíme čáry spojující desítky a sčítáme nebo odčítáme tyto části.

Tady je jeden příklad, jak jsme ho použili ve třídě:

Odčítání desítek, odečítání jedniček (Place Value)

Podobně jako při sčítání desítek s desítkami a jedniček s jedničkami žáci odečítají každou hodnotu místa zvlášť a poté jedničky od desítek odečítají (nebo je sčítají). Tuto strategii lze použít v zásadě dvěma způsoby. Studenti mohou rozložit a desítku nebo mohou studenti použít záporná čísla.

Jedním ze způsobů, jak tuto strategii se studenty používám, jsou záporná čísla. Vím, že na druhém stupni záporná čísla neučíme, ale pro některé studenty je to opravdu způsob, kterému rozumí a kterého se mohou držet více než ostatních strategií. Příklady tohoto postupu můžete vidět na výše uvedených kotevních grafech ve druhém a třetím ročníku.

Přemýšlejte o číslech 64-47. Jaké je to číslo? Když odečtu 4-7, dostanu -3. Řeknu studentům, že větší číslo má před sebou znaménko mínus, a tak je v něm stále více toho, co je třeba odebrat. Studenti pak odečtou 60-40, dostanou 20 a tam odečtou více, aby dostali 17.

Sčítání / přemýšlení o sčítání (Count Up) / Add Up (vztah mezi sčítáním & odčítáním nebo hodnotou místa)

Nejsem si přesně jistý, zda se tato strategie týká vztahu mezi sčítáním a odčítáním nebo hodnoty místa. Strategie Přemýšlej o sčítání je podobná (ne-li stejná) jako strategie Počítej nahoru nebo Sčítej nahoru. Tato strategie je také velmi podobná strategii Rozdělit na části v tom smyslu, že studenti musí rozdělit alespoň jedno z čísel, aby mohli hláskovat nahoru nebo dolů po částech čísla.

Ačkoli studenti mohou počítat po jedničkách, velmi vám doporučuji, abyste jim pomohli přejít k efektivnějším strategiím a počítat po desítkách a pak po jedničkách. Pomocí tabulky stovek si studenti procvičí pohyb po desítkách nahoru a dolů po tabulce. Stovková tabulka je něco jako stlačená číselná řada. Viz výše uvedená fotografie s tabulkami stovek a tisícovek.

Tady je několik příkladů počítání nahoru:

Výše uvedené dva příklady jsou jen ty, které jsme dělali na tabuli a které jsem nechala žáky zapsat do sešitů.

Toto je stránka z mých knih o dvouciferném odčítání s klapkami. V těchto klopových knížkách se probírá několik různých modelů a strategií a žáci si procvičují slovní zásobu a vysvětlují své myšlení.

Na těchto klopových knížkách se mi líbí, že se žáci mohou ponořit do jednoho aspektu dvouciferného odčítání a připojit jazyk k číslům a postupům, které používají.

Use Compensation (Properties of Operations)

Tato poslední strategie je jiná než všechny předchozí. V podstatě se musíte ujistit, že čísla jsou v rámci problému vyvážená a že zohledňujete všechny části. Je to předchůdce algebry a skvělá strategie pro mentální matematiku.

Existuje několik různých způsobů, jak kompenzaci použít, ale základní myšlenka spočívá v tom, že přičtete nebo odečtete část jednoho čísla a přidáte ji k druhému číslu, abyste vytvořili přátelské číslo. Musíte sledovat, co bylo přičteno nebo odečteno, a nějak to v úloze zohlednit.

Kompenzování je užitečné zejména u čísel, která jsou blízká přátelským číslům, i když ho lze použít pro jakékoli číslo. Například číslo 68 – 39 lze převést na číslo 69 – 40. Ke každému číslu jsem přidal jedničku. Hodnota +1 a -1 je 0, takže jsem problém vůbec nezměnil.

Tady je další příklad: 53 + 38. Mohl bych sečíst 53 + 40 a dostat 93, ale protože jsem k číslu 38 přičetl dvojku, abych dostal 40, budu muset od 93 odečíst dvojku, abych dostal 91.

Základní myšlenka u kompenzace spočívá v tom, že upravujete jednu část čísla na přátelské číslo, aby se vám lépe sčítalo nebo odčítalo. Když však upravujete jedno číslo, musíte sledovat, co jste upravili, a kompenzovat to.

Co musí žáci vědět, než začnou tyto strategie používat?

Výše uvedené strategie jsou velmi účinné, pokud je žáci dokážou přidat do své sady nástrojů, když přistupují k dvoucifernému sčítání a odčítání. Aby však žáci mohli výše uvedené strategie efektivně používat, potřebují k tomu několik věcí.

Fakta sčítání a odčítání – Žáci potřebují poměrně dobře ovládat fakta sčítání a odčítání. Potřebují mít všechna zapamatovaná rychlostí? Ne. Pokud však žáci tráví příliš mnoho času snahou přijít na nějaký fakt sčítání a brání jim to soustředit se na strategii, protože zapomínají, co dělali, pak potřebují větší plynulost ve faktech sčítání a odčítání. Moje hodnocení automatičnosti pomáhá žákům procvičovat fakta podle strategie.

Schopnost najít přátelská čísla – Na začátku roku dlouho rozvíjíme plynulost práce s číslem 10 jako referenčním číslem. Ačkoli to děláme na začátku roku, aby nám to pomohlo s plynulostí matematických faktů, je to přínosné i tehdy, když studenti začínají svou cestu se sčítáním a odčítáním dvouciferných čísel. Studenti potřebují vědět, jak se dostat k dalšímu přátelskému číslu, což jsou v podstatě jejich fakta o desítce, ale aplikují je na dvouciferná čísla, aby našli další desítku.

Sčítání 10 k číslu – Naši jednotku sčítání dvouciferných čísel začínáme velkým procvičováním sčítání a odčítání deseti od čísla. To je základní dovednost jak v mých dvouciferných sčítacích součinů, tak v mých dvouciferných odčítacích součinů. Studenti musí vidět zákonitost přičítání deseti k číslu.

Místní hodnota – Pro dvouciferné sčítání potřebují studenti pevné základy v pojmech jedniček a desítek a v tom, co znamená rozložit číslo na jedničky a desítky. Od prvního dne školy děláme každodenní matematická cvičení, která budují plynulost s hodnotou místa a také počítání na přeskáčku po desítkách z libovolného čísla.

Učím tradiční algoritmus?

Ano i ne. Ano, učím pojem přeskupování a ano, učím žáky směřovat k efektivitě při sčítání a odčítání. To by mohlo zahrnovat tradiční algoritmus, pokud jsou schopni pochopit jeho smysl.

Studenti nemusí používat standardní algoritmus až do čtvrté třídy (podle standardů Common Core). Mohou to dělat dříve? Možná.

Předkládám jim ho ve druhé třídě jako model, který by mohli používat; netrávíme však mnoho času tím, že bychom se na něj zaměřovali, protože chci, aby si žáci rozvíjeli strategie řešení problémů, ne aby byli vázáni na jeden model.

Když pracujeme s tradičním algoritmem, připojujeme k němu mnoho jazykových prostředků a významů, obvykle ho spojujeme s prací, kterou jsme již udělali, jako je naše práce s bloky základny 10.

Pokud pracujeme s tradičním algoritmem, připojujeme k němu mnoho jazykových prostředků a významů. Zde je několik příkladů, kdy učím žáky tradičnímu algoritmu tak, že ho propojuji s modely, které jsme již použili, a dávám žákům přesný jazyk, kterým vysvětlují své myšlení.

Tady je několik příkladů, jak dávám žákům zkušenosti s tradičním algoritmem.

Všimli jste si, že má být napsáno 7 desítek a 11 jedniček? Žák nedával pozor na bloky se základem 10!“

Ty pocházejí z mého balíčku Rozkládej desítku, který vyvažuje práci s tradičním algoritmem pomocí modelů se základem 10 a poskytuje studentům jazyk rozkladu čísel.

Uf – to je spousta informací ke strávení! Existuje mnoho různých modelů a strategií, které může žák použít při řešení úloh na dvouciferné sčítání a odčítání. To, co jsem nastínil výše, je několik z nich, které jsem shledal pro žáky obzvláště užitečnými. Pomáhají žákům vytvořit pevné základy v oblasti dvouciferného sčítání a odčítání, vytvářejí most k třícifernému sčítání a odčítání a také zdůrazňují myšlenku používání strategií a modelů k řešení problémů, nikoliv pouze sledování kroků v postupu.

Pokud učíte na druhém stupni, mohlo by se vám líbit několik stránek z některých mých produktů pro dvouciferné sčítání a odčítání. Toto PDF se zdroji jsem sestavil jako vzorník z několika různých produktů, které skutečně zdůrazňují veškerou práci, kterou v naší třídě děláme, abychom tyto strategie rozvíjeli do hloubky.

Různé součásti vzorníku lze použít v celé skupině nebo v malé skupině a jsou ideální pro to, abyste pomohli svým žákům přemýšlet mimo rámec, pokud jde o řešení sčítání a odčítání dvojciferných čísel.

Výše zmíněné zdroje pro dvouciferné sčítání a odčítání

Zde je seznam s odkazy na všechny výše zmíněné zdroje pro dvouciferné sčítání a odčítání. Lze je zakoupit na mých webových stránkách nebo na webu Teachers Pay Teachers.

• Matematická stanoviště na válení a otáčení
• Vystřihovací a vkládací matematické aktivity pro 2. třídu (TpT)
• Matematická centra na sčítání dvojciferných čísel (TpT)
• Matematická centra na odčítání dvojciferných čísel (TpT)
• Karty s úkoly na sčítání s využitím tabulek 100 (TpT)
• Matematická centra na sčítání dvoj-Odčítání s klopami (TpT)
• Rozložení desítky Úkolové karty (TpT)

Mnoho z výše uvedeného je také obsaženo v balíčku Sčítání a odčítání dvojciferných čísel (TpT).