Numerické výpočty
Vývoj nových metod numerických výpočtů byl reakcí na zvýšené praktické požadavky na numerické výpočty, zejména v trigonometrii, navigaci a astronomii. Nové myšlenky se rychle šířily po Evropě a do roku 1630 vyústily v zásadní revoluci v početní praxi.
Simon Stevin z Holandska ve své krátké brožuře La Disme (1585) zavedl v Evropě desetinné zlomky a ukázal, jak rozšířit principy hinduisticko-arabské aritmetiky na výpočty s těmito čísly. Stevin zdůraznil užitečnost desítkové aritmetiky „pro všechny účty, s nimiž se setkáváme v lidských záležitostech“, a v dodatku vysvětlil, jak ji lze použít v geodézii, stereometrii, astronomii a měření. Jeho myšlenkou bylo rozšířit polohový princip základu 10 na čísla se zlomkovými částmi a odpovídajícím způsobem rozšířit zápis pro tyto případy. V jeho systému bylo číslo 237,578 označeno
v níž číslice nalevo od nuly představují integrální část čísla. Napravo od nuly jsou číslice zlomkové části, přičemž za každou číslicí následuje zakroužkované číslo, které udává zápornou mocninu, na kterou je číslo 10 zvýšeno. Stevin ukázal, jak lze obvyklou aritmetiku celých čísel rozšířit na desetinné zlomky pomocí pravidel, která určovala umístění záporných mocnin 10.
Kromě praktického užitku byl La Disme významný tím, jak v teoretické matematice podkopal dominantní styl klasické řecké geometrie. Stevinův návrh vyžadoval odmítnutí rozlišení v euklidovské geometrii mezi velikostí, která je spojitá, a číslem, které je množinou nedělitelných jednotek. Pro Euklida byla jednota neboli jednička zvláštním druhem věci, nikoli číslem, ale původem nebo principem čísla. Zavedení desetinných zlomků jako by znamenalo, že jednotku lze dělit a že lze číselně znázornit libovolnou spojitou velikost; implicitně předpokládalo pojem obecného kladného reálného čísla.
Tabulky logaritmů poprvé publikoval v roce 1614 skotský laird John Napier ve svém pojednání Description of the Marvelous Canon of Logarithms. Po tomto díle následovalo (posmrtně) o pět let později další, v němž Napier vyložil zásady používané při konstrukci svých tabulek. Základní myšlenka logaritmů spočívá v tom, že sčítání a odčítání se provádí snadněji než násobení a dělení, které, jak Napier poznamenal, vyžadují „zdlouhavé vynakládání času“ a jsou vystaveny „kluzkým chybám“. Podle zákona exponentů platí, že anam = an + m; to znamená, že při násobení čísel jsou exponenty vztaženy aditivně. Korelací geometrické posloupnosti čísel a, a2, a3,… (a se nazývá základ) a aritmetické posloupnosti 1, 2, 3,… a interpolací na zlomkové hodnoty lze redukovat problém násobení a dělení na problém sčítání a odčítání. K tomu Napier zvolil základ, který byl velmi blízký 1 a lišil se od ní pouze o 1/107. Výsledná geometrická posloupnost tedy poskytla hustý soubor hodnot, vhodný pro konstrukci tabulky.
V práci z roku 1619 Napier představil zajímavý kinematický model pro generování geometrických a aritmetických posloupností, které použil při konstrukci svých tabulek. Předpokládejme, že dvě částice se pohybují po samostatných přímkách z daných počátečních bodů. Částice se začínají pohybovat ve stejném okamžiku stejnou rychlostí. První částice se nadále pohybuje klesající rychlostí, která je v každém okamžiku úměrná zbývající vzdálenosti mezi ní a nějakým daným pevným bodem na přímce. Druhá částice se pohybuje konstantní rychlostí, která se rovná její počáteční rychlosti. Vzhledem k libovolnému přírůstku času tvoří vzdálenosti, které urazí první částice v po sobě jdoucích přírůstcích, geometricky klesající posloupnost. Odpovídající vzdálenosti, které urazí druhá částice, tvoří aritmeticky rostoucí posloupnost. Napier dokázal pomocí tohoto modelu odvodit věty, které dávaly přesné limity přibližných hodnot v obou posloupnostech.
Napierův kinematický model naznačil, jak zkušenými matematiky se stali na počátku 17. století analytici nerovnoměrného pohybu. Kinematické myšlenky, které se v dobové matematice objevovaly často, poskytovaly jasný a názorný prostředek pro generování geometrické velikosti. Představa křivky sledované částicí pohybující se prostorem později sehrála významnou roli při vývoji kalkulu.
Napierovy myšlenky převzal a přepracoval anglický matematik Henry Briggs, první Savilianův profesor geometrie v Oxfordu. V roce 1624 Briggs publikoval rozsáhlou tabulku běžných logaritmů neboli logaritmů do základu 10. Protože základ již nebyl blízký 1, nebylo možné tabulku získat tak jednoduše jako Napierovu, a Briggs proto vymyslel techniky zahrnující výpočet konečných diferencí, které usnadňují výpočet zadání. Vymyslel také interpolační postupy s velkou výpočetní účinností pro získání mezilehlých hodnot.
Nezávisle na Napierovi přišel ve Švýcarsku na myšlenku logaritmů nástrojař Joost Bürgi, ačkoli své výsledky publikoval až v roce 1620. O čtyři roky později se v Marburku objevila tabulka logaritmů připravená Keplerem. Bürgi i Kepler byli astronomickými pozorovateli a Kepler zahrnul logaritmické tabulky do svých slavných Tabulae Rudolphinae (1627; „Rudolfínské tabulky“), astronomických tabulek pohybu planet odvozených s využitím předpokladu eliptických drah kolem Slunce.
.