Pokračování tématu trojúhelníků 15-75-90 (viz: Minule a Poprvé): V poslední době se objevilo několik zajímavých řešení trojúhelníků 15-75-90 v krabici.
Příklad dělení čtverce čtyřmi trojúhelníky 15-75-90:
Jak už to bývá, zjištění poměrné plochy trojúhelníků a čtverce je pomocí trigonometrie jednoduché:
Nechť s je délka stran čtverce:
Plocha každého trojúhelníku = \(\frac{1}{2} s^2 cos(15)sin(15) \) a pomocí vzorců pro dvojí úhel
\(sin(30)=2sin(15)cos(15)\) takže po substituci a znalosti sin(30) = \(\frac{1}{2}\) vyskočí plocha = \(\frac{1}{8}s^2\)
Ale proč se to děje? Jako obvykle na nás číhá trojúhelník 30-60-90, který umožňuje euklidovské vysvětlení.
Zajímavé na tom je zejména to, že to napovídá, že existují výseče, které transformují 1/4 nebo 1/8 většího čtverce do trojúhelníků, a jisté je, že posunete 1/4 trojúhelníku ABO, až se z něj stane 2 15-75-90′!
Ale vraťme se k původnímu problému. Existuje ještě jedno snadné vysvětlení toho, co se děje, které prostě používá poměry trojúhelníku:
1. Co se děje? Všimněte si, že plocha tohoto trojúhelníku je \(\frac{1}{2}(2 – \sqrt{3})\)
2. Po odmocnění přepony dostaneme \(4(2 – \sqrt{3})\), což je osminásobek plochy trojúhelníku.
3. Nebo jinak řečeno každý trojúhelník je 1/8 čtverce vytvořeného na přeponě.
A znovu jsme našli náš původní výsledek.
Další otázky: Existují další běžné trojúhelníky, které dělí čtverec na jednotkový nebo „jednoduchý“ zlomek.
Nechám na čtenáři, aby rozhodl, která úloha založená na této vlastnosti je zábavnější (od @eylem a @sansu-seijin):
Podle čtverce o délce 6 cm, jak velká je zastíněná oblast?
.