Chromatická stupnice v západní hudbě dělí oktávu na 12 dílů. Existují poněkud odlišné způsoby rozdělení oktávy na 12 dílů a různé přístupy mají dlouhou a subtilní historii. V tomto příspěvku se podíváme na kořeny rozdílů.
Oktáva je poměr 2:1. Předpokládejme, že struna o určitém napětí a délce vydává při vybrnkávání tón A. V tomto případě se jedná o oktávu. Pokud strunu napneme dvakrát více nebo zachováme stejné napětí a zkrátíme ji na polovinu, bude struna znít A o oktávu výše. Nový zvuk rozkmitá vzduch dvakrát tolikrát za sekundu.
Kvinta je poměr 3:2 stejně jako oktáva je poměr 2:1. Začneme-li tedy s A 440 (tón, který kmitá frekvencí 440 Hz, 440 kmitů za sekundu), pak E o kvintu výše než A kmitá frekvencí 660 Hz.
Můžeme jít nahoru po kvintách a dolů po oktávách a vytvořit tak každý tón chromatické stupnice. Půjdeme-li například od tónu E 660 o další kvintu nahoru, dostaneme tón B 990. Pokud pak půjdeme o oktávu dolů na B 495, máme B o jeden stupeň výše než A 440. To říká, že „sekunda“, například interval od A k B, je v poměru 9 ku 8. Dále bychom mohli vytvořit F# tak, že bychom šli od B o kvintu výš atd. Tento postup not se nazývá kvintový kruh.
Další postup zvolíme jinak. Pokaždé, když v chromatické stupnici postoupíme o půltón nahoru, zvýšíme výšku tónu o poměr r. Když to uděláme dvanáctkrát, postoupíme o oktávu, takže r12 musí být 2. To říká, že r je dvanáctá odmocnina z 2. Začneme-li s A 440, výška tónu o n půlkroků vyšší musí být 2n/12 krát 440.
Nyní máme dva způsoby, jak jít o kvintu výš. První přístup říká, že kvinta je poměr 3 ku 2. Protože kvinta je sedm půlkroků, druhý přístup říká, že kvinta je poměr 27/12 ku 1. Pokud se tyto hodnoty rovnají, pak jsme dokázali, že 27/12 se rovná 3/2. Pokud se tyto hodnoty rovnají, pak jsme dokázali, že 27/12 se rovná 3/2. Bohužel to není přesně pravda, i když je to dobrá aproximace, protože 27/12 = 1,498. Poměru 3/2 se říká „dokonalá“ pětina, abychom ho odlišili od poměru 1,498. Rozdíl mezi dokonalou kvintou a obyčejnou kvintou je malý, ale zvětší se, když použijete dokonalou kvintu ke konstrukci každého tónu.
Přístup, který vytváří každý tón pomocí dokonalé kvinty a oktávy, je známý jako pythagorejské ladění. Přístup využívající dvanáctou odmocninu ze dvou je známý jako rovnoměrná temperace. Protože 1,498 není totéž co 1,5, oba přístupy vytvářejí různé systémy ladění. Existují různé kompromisy, které se snaží zachovat aspekty obou systémů. Každá sada kompromisů vytváří jiný systém ladění. A ve skutečnosti je pythagorejský systém ladění o něco složitější, než je popsáno výše, protože i on zahrnuje určité kompromisy.
Související příspěvek: Kruh kvinty a teorie čísel
.