Vztah mezi lineárními a rotačními veličinami
Popis pohybu by někdy mohl být jednodušší pomocí úhlových veličin, jako je úhlová rychlost, rotační setrvačnost, točivý moment atd.
Cíl výuky
Vyvodit rovnoměrný kruhový pohyb z lineárních rovnic
Klíčové poznatky
Klíčové body
- Jak používáme hmotnost, lineární hybnost, translační kinetickou energii a 2. Newtonův zákon k popisu lineárního pohybu, můžeme popsat obecný rotační pohyb pomocí odpovídajících skalárních/vektorových/tenzorových veličin.
- Úhlová a lineární rychlost mají následující vztah: \bf{\text{v} = \omega \times \text{r}}.
- Jak používáme pohybovou rovnici \text{F} = \text{ma} k popisu lineárního pohybu, můžeme použít její protějšek \bf{\tau} = \frac{\text{d}\bf{\text{L}}{\text{dt}} = \bf{\text{r}}. \times \bf{\text{F}}, pro popis úhlového pohybu. Popisy jsou ekvivalentní a volba může být provedena čistě z důvodu pohodlnosti použití.
Klíčové pojmy
- rovnoměrný kruhový pohyb:
- točivý moment: (SI jednotka newton-metr nebo Nm; imperiální jednotka foot-pound nebo ft-lb)
- rotační setrvačnost: Tendence rotujícího objektu zůstat rotujícím, pokud na něj nepůsobí točivý moment.
Definice kruhového pohybu
Popis kruhového pohybu se lépe popisuje pomocí úhlové veličiny než jeho lineární protějšek. Důvody jsou snadno pochopitelné. Uvažujme například případ rovnoměrného kruhového pohybu. Zde se rychlost částice mění – i když je pohyb „rovnoměrný“. Tyto dva pojmy nejdou dohromady. Obecná konotace pojmu „rovnoměrný“ označuje „konstantní“, ale rychlost se ve skutečnosti neustále mění.
Rotující těleso: Každá částice tvořící těleso vykonává rovnoměrný kruhový pohyb kolem pevné osy. Pro popis pohybu jsou vhodnější úhlové veličiny.
Pokud rovnoměrný kruhový pohyb popíšeme úhlovou rychlostí, není v tom žádný rozpor. Rychlost (tj. úhlová rychlost) je skutečně konstantní. To je první výhoda popisu rovnoměrného kruhového pohybu v termínech úhlové rychlosti.
Druhou výhodou je, že úhlová rychlost vyjadřuje fyzikální smysl rotace částice na rozdíl od lineární rychlosti, která označuje translační pohyb. Případně úhlový popis zdůrazňuje rozdíl mezi dvěma typy pohybu (translační a rotační).
Vztah mezi lineární a úhlovou rychlostí
Pro zjednodušení uvažujme rovnoměrný kruhový pohyb. Pro délku oblouku svírajícího úhel “ v počátku a „r“ je poloměr kružnice obsahující polohu částice máme \text{s}=\text{r}\theta .
Diferencujeme-li vzhledem k času, máme
\frac{\text{ds}}{\text{dt}} = \frac{\text{dr}}{\text{dt}}. \theta + \text{r}\frac{\text{d}\theta}{\text{dt}}.
Protože \frac{\text{dr}}{\text{dt}} = 0 pro rovnoměrný kruhový pohyb, dostaneme \text{v} = \omega \text{r}. Podobně dostaneme také \text{a} = \alfa \text{r}, kde \text{a} znamená lineární zrychlení, zatímco \alfa se vztahuje k úhlovému zrychlení (V obecnějším případě je vztah mezi úhlovými a lineárními veličinami dán jako \bf{\text{v} = \omega \times \text{r}}, ~~ \bf{\text{a} = \alfa \times \text{r}. + \omega \čas \text{v}}. )
Rotační kinematické rovnice
Ze vztahu lineární a úhlové rychlosti/zrychlení můžeme odvodit následující čtyři rotační kinematické rovnice pro konstantní \text{a} a \alfa:
\omega =\omega 0+\alfa \text{t}: \text{v}=\text{v}0+\text{at}
\theta =\omega 0\text{t}+(1/2)\alfa \text{t}2: \text{x}=\text{v}0\text{t}+(1/2)\text{at}2
\omega 2=\omega 02+2: \text{v}2=\text{v}02+2\text{ax}
Hmotnost, hybnost, energie a druhý Newtonův zákon
Jak jsme použili hmotnost, lineární hybnost, translační kinetickou energii a druhý Newtonův zákon k popisu lineárního pohybu, můžeme popsat obecný rotační pohyb pomocí odpovídajících skalárních/vektorových/tenzorových veličin:
- Hmotnost/rotační setrvačnost:
- Lineární/úhlová hybnost:
- Síla/moment:
- Kinetická energie:
Příklad stejně jako používáme pohybovou rovnici \text{F} = \text{ma} k popisu lineárního pohybu, můžeme použít její protějšek \bf{\tau} = \frac{\text{d}\bf{\text{L}}{\text{dt}} = \bf{\text{r}}. \times \bf{\text{F}} pro popis úhlového pohybu. Oba popisy jsou ekvivalentní a volba může být provedena čistě z důvodu pohodlnosti použití.
.