7.6: Objem, orientace a Leviho-Civitův tenzor

Orientace

Jak ukazuje obrázek \(\PageIndex{5}\), linearita plochy vyžaduje, aby byly některým plochám přiřazeny záporné hodnoty. Porovnáme-li plochy \(+1\) a \(-1\), vidíme, že jediným rozdílem je orientace neboli ručička. V případě, že jsme ploše \(+1\) přiřadili libovolnou hodnotu, leží vektor b proti směru hodinových ručiček od vektoru a, ale pokud je a flipováno, relativní orientace se stává pravotočivou.

Pokud máte obvyklé znalosti fyziky z prvního ročníku, pak jste viděli, že se tento problém řeší zvláštním způsobem, který spočívá v tom, že předpokládáme existenci třetího rozměru a plochu definujeme jako vektorový součin \(a×b\), který je kolmý na rovinu obývanou \(a\) a \(b\). Problémem tohoto přístupu je, že funguje pouze ve třech rozměrech. Ve čtyřech rozměrech předpokládejme, že a leží podél osy \(x\) a \(b\) podél osy \(t\). Pokud bychom tedy definovali \(a×b\), mělo by se nacházet ve směru kolmém na obě tyto osy, ale takových směrů máme více. Můžeme si vybrat cokoli v rovině \(y-z\).

Pro začátek této problematiky v m rozměrech, kde se \(m\) nemusí nutně rovnat \(3\), můžeme uvažovat \(m\)-objem \(m\)-rozměrného rovnoběžníku proloženého \(m\) vektory. Předpokládejme například, že v \(4\)-rozměrném prostoročase zvolíme naše \(m\) vektory jako jednotkové vektory ležící podél čtyř os Minkowského souřadnic, \(\hat{t},\hat{x},\hat{y}\; \text{and}\; \hat{z}\). Ze zkušenosti s vektorovým křížovým součinem, který je antikomutativní, očekáváme, že znaménko výsledku bude záviset na pořadí vektorů, takže je berme v tomto pořadí. Je zřejmé, že pro tento objem si můžeme představit pouze dvě rozumné hodnoty: \(+1\) nebo \(-1\). Volba je libovolná, takže se rozhodneme libovolně. Řekněme, že pro toto pořadí je to \(+1\). To se rovná volbě orientace prostoročasu.

Skrytým a netriviálním předpokladem bylo, že jakmile jsme tuto volbu provedli v jednom bodě prostoročasu, lze ji důsledně přenést do dalších oblastí prostoročasu. Nemusí tomu tak být, jak naznačuje obrázek \(\PageIndex{6}\).

Naším tématem je však v tuto chvíli speciální teorie relativity, a jak bylo brieflově řečeno v kapitole 2.4, ve speciální teorii relativity se obvykle předpokládá, že prostoročas je topologicky triviální, takže tento problém vyvstává až v obecné teorii relativity, a to pouze v prostoročasech, které pravděpodobně nejsou realistickými modely našeho vesmíru.

Protože \(4\)-objem je invariantní vůči rotacím a Lorentzovým transformacím, naše volba orientace stačí k tomu, abychom stanovili definici \(4\)-objemu, která je Lorentzovým invariantem. Jestliže vektory \(a\), \(b\), \(c\) a \(d\) pokrývají \(4\)-paralelepiped, pak linearitu objemu vyjádříme tak, že řekneme, že existuje množina koeficientů \(\epsilon _{ijkl}\) taková, že

\

Zápis tímto způsobem naznačuje, že jej budeme interpretovat jako abstraktní indexový zápis, v takovém případě absence jakýchkoli indexů na \(V\) znamená, že se nejedná pouze o Lorentzův invariant, ale také o skalár.

Výsledek příkladu \(\PageIndex{2}\) nám říká, že podle naší konvence, že objem je skalár, se složky musí při změně souřadnic změnit. Někdo by mohl namítnout, že by bylo logičtější považovat transformaci v tomto příkladu za změnu jednotek, a v tom případě by hodnota \(V\) byla v nových jednotkách jiná; to je možná alternativní konvence, ale její nevýhodou by bylo, že by znemožňovala vyčíst transformační vlastnosti objektu z počtu a polohy jeho indexů. Podle naší konvence můžeme transformační vlastnosti odečíst tímto způsobem. Ačkoli oddíl 7.4 uvádí tyto vlastnosti pouze v případě tenzorů hodnosti \(0\) a \(1\) a obecný popis tenzorů vyšších hodností odkládá na oddíl 9.2, transformační vlastnosti \(\epsilon\) jsou, jak vyplývá z jeho čtyř indexů, transformační vlastnosti tenzoru hodnosti \(4\). Různí autoři používají různé konvence týkající se definice \(\epsilon\), kterou původně popsal matematik Levi-Civita.

Protože podle naší konvence je \(\epsilon\) tenzor, označujeme jej jako Leviho-Civitův tenzor. V jiných konvencích, kde \(\epsilon\) není tenzorem, jej můžeme označovat jako Leviho-Civitův symbol. Protože zápis není standardizován, budu občas u důležitých rovnic obsahujících \(\epsilon\) uvádět, že se jedná o tenzor \(\epsilon\).

Levi-Civitův tenzor má mnoho a mnoho indexů. Děsivé! Představte si složitost této bestie. (Máme čtyři možnosti pro první index, čtyři pro druhý a tak dále, takže celkový počet složek je \(256\). Počkejte, nesahejte pro kapesník. Následující příklad ukazuje, že tato složitost je iluzorní.

Příklad \(\PageIndex{3}\) ukazuje, že efektní symbol \(\epsilon _{ijkl}\), který vypadá jako tajný mayský hieroglyf vyvolávající \(256\) různých čísel, ve skutečnosti kóduje informaci pouze o jednom čísle; každá složka tenzoru se buď rovná tomuto číslu, nebo minus tomuto číslu, nebo nule. Předpokládejme, že pracujeme v nějaké soustavě souřadnic, která nemusí být Minkowského, a chceme najít toto číslo. Složitým způsobem, jak ho zjistit, by bylo použít zákon tenzorové transformace pro tenzor rank-\(4\) (kapitola 9.2). Mnohem jednodušší způsob je použít determinant metriky, o kterém jsme hovořili v příkladu 6.2.1. Pro seznam souřadnic ijkl, které jsou seřazeny v pořadí, které definujeme jako kladnou orientaci, je výsledek jednoduše \(\epsilon _{ijkl} = \sqrt{\levá | det\; g \pravá |}\). Znaménko absolutní hodnoty je nutné, protože relativistická metrika má záporný determinant.

.