7.6: Volumen, orientering og Levi-Civita-tenoren

Orientering

Som det fremgår af figur \(\PageIndex{5}\), kræver arealets linearitet, at nogle områder tildeles negative værdier. Hvis vi sammenligner arealerne \(+1\) og \(-1\), kan vi se, at den eneste forskel er en forskel i orientering, dvs. i håndholdningen. I det tilfælde, hvor vi vilkårligt har tildelt arealet \(+1\), ligger vektor b mod uret i forhold til vektor a, men når a er flipped, bliver den relative orientering med uret.

Hvis du har haft den sædvanlige førsteårsfysik-baggrund, så har du set dette spørgsmål behandlet på en særlig måde, nemlig at vi antager, at der findes en tredje dimension, og definerer arealet som vektor-krydsproduktet \(a×b\), som er vinkelret på det plan, der bebos af \(a\) og \(b\). Problemet med denne fremgangsmåde er, at den kun fungerer i tre dimensioner. I fire dimensioner antager vi, at a ligger langs \(x\)-aksen, og \(b\) langs \(t\)-aksen. Hvis vi så skulle definere \(a×b\), skulle den ligge i en retning vinkelret på begge disse, men vi har mere end én sådan retning. Vi kunne vælge hvad som helst i \(y-z\)-planet.

For at komme i gang med dette spørgsmål i m dimensioner, hvor \(m\) ikke nødvendigvis er lig med \(3\), kan vi betragte \(m\)-volumenet af det \(m\)-dimensionelle parallelepiped, der er opspændt af \(m\)-vektorer. Lad os f.eks. antage, at vi i \(4\)-dimensionel rumtid vælger vores \(m\)-vektorer som værende enhedsvektorer, der ligger langs de fire akser i Minkowski-koordinaterne, \(\hat{t},\hat{x},\hat{y}\; \text{og}\; \hat{z}\). Ud fra erfaringen med vektor-korsproduktet, som er antikommutativt, forventer vi, at resultatets fortegn vil afhænge af vektorernes rækkefølge, så lad os tage dem i den rækkefølge. Der er tydeligvis kun to rimelige værdier, som vi kan forestille os for dette volumen: \(+1\) eller \(-1\). Valget er arbitrært, så vi træffer et arbitrært valg. Lad os sige, at det er \(+1\) for denne rækkefølge. Dette svarer til at vælge en orientering for rumtiden.

En skjult og ikke-triviel antagelse var, at når vi først havde truffet dette valg på ét sted i rumtiden, kunne det overføres til andre områder af rumtiden på en konsistent måde. Dette behøver ikke at være tilfældet, som det antydes i figur \(\PageIndex{6}\).

Vores emne i øjeblikket er imidlertid den specielle relativitetsteori, og som diskuteret briefly i afsnit 2.4, antages det normalt i den specielle relativitetsteori, at rumtiden er topologisk triviel, således at dette problem kun opstår i den generelle relativitetsteori, og kun i rumtider, der sandsynligvis ikke er realistiske modeller af vores univers.

Da \(4\)-volumen er invariant under rotationer og Lorentz-transformationer, er vores valg af en orientering tilstrækkeligt til at fastsætte en definition af \(4\)-volumen, der er en Lorentz-invariant. Hvis vektorerne \(a\), \(b\), \(c\) og \(d\) spænder over et \(4\)-parallelepiped, så udtrykkes volumens linearitet ved at sige, at der er et sæt koefficienter \(\epsilon _{ijkl}\), således at

\

Det at notere det på denne måde tyder på, at vi tolker det som abstrakt indeksnotation, I så fald betyder manglen på indeks på \(V\), at det ikke blot er en Lorentz-invariant, men også en skalar.

Resultatet af eksempel \(\(\PageIndex{2}\) fortæller os, at under vores konvention om, at volumen er en skalar, må komponenterne af ændre sig, når vi ændrer koordinater. Man kunne argumentere for, at det ville være mere logisk at betragte transformationen i dette eksempel som en ændring af enheder, i hvilket tilfælde værdien af \(V\) ville være anderledes i de nye enheder; dette er en mulig alternativ konvention, men den ville have den ulempe, at den ville gøre det umuligt at aflæse et objekts transformationsegenskaber ud fra antallet og placeringen af dets indekser. Med vores konvention kan vi aflæse transformationsegenskaberne på denne måde. Selv om afsnit 7.4 kun præsenterede disse egenskaber i tilfælde af tensorer af rang \(0\) og \(1\), idet vi udskyder den generelle beskrivelse af tensorer af højere rang til afsnit 9.2, er \(\(\epsilon\)’s transformationsegenskaber, som antydet af dets fire indeks, dem for en tensor af rang \(4\). Forskellige forfattere anvender forskellige konventioner med hensyn til definitionen af \(\epsilon\), som oprindeligt blev beskrevet af matematikeren Levi-Civita.

Da \(\epsilon\) efter vores konvention er en tensor, kalder vi den for Levi-Civita-tensoren. I andre konventioner, hvor \(\epsilon\) ikke er en tensor, kan den omtales som Levi-Civita-symbolet. Da notationen ikke er standardiseret, vil jeg lejlighedsvis sætte en påmindelse ved siden af vigtige ligninger, der indeholder \(\epsilon\), med angivelse af, at dette er tensoren \(\epsilon\).

Levi-Civita-tensoren har masser og masser af indekser. Skræmmende! Forestil dig kompleksiteten af dette bæst. (Vi har fire valgmuligheder for det første indeks, fire for det andet og så videre, så det samlede antal komponenter er \(256\). Vent, du må ikke gribe efter kleenex’en. Det følgende eksempel viser, at denne kompleksitet er illusorisk.

Eksemplet \(\PageIndex{3}\) viser, at det smarte symbol \(\epsilon _{ijkl}\), der ligner en hemmelig maya-hieroglyf, som påkalder \(256\) forskellige tal, faktisk kun koder for ét tals værdi af information; hver komponent af tensoren er enten lig med dette tal, eller minus dette tal, eller nul. Lad os antage, at vi arbejder i et sæt koordinater, som måske ikke er Minkowski, og at vi ønsker at finde dette tal. En kompliceret måde at finde det på ville være at bruge tensortransformationsloven for en rank-\(4\)-tensor (afsnit 9.2). En meget enklere måde er at gøre brug af metrikkens determinant, som diskuteres i eksempel 6.2.1. For en liste af koordinater ijkl, der er sorteret i den rækkefølge, som vi definerer som en positiv orientering, er resultatet simpelthen \(\epsilon _{ijkl} = \sqrt{{\left | det\; g \right |}\). Det absolutte værdi-tegn er nødvendigt, fordi en relativistisk metrik har en negativ determinant.